【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N
*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
B A ⊆
（或
)A B ⊇
A 中的任一元素都属于B
(1)A ⊆A
(2)A ∅
⊆
(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =
A(B)
或B A
真子集
A ≠
⊂B
（或B ≠
⊃A ）
B A ⊆，且B 中至少
有一元素不属于A
（1）A ≠
∅⊂（A 为非空子集）
(2)若A B ≠
⊂且B C ≠
⊂，则
A C ≠
⊂
B A
集合 相等
A B =
A 中的任一元素都属
于B ，B 中的任一元素都属于A
(1)A ⊆B (2)B ⊆A
A(B)
（7）已知集合
A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.
（8）交集、并集、补集 名称
记号
意义
性质
示意图
交集
A B
{|,x x A ∈且
}x B ∈ （1）A
A A = （2）A ∅=∅ （3）A
B A ⊆ A B B ⊆ B
A
并集
A B
{|,x x A ∈或
}x B ∈
（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A
B B ⊇
B
A
补集
U A
{|,}
x x U x A ∈∉且
1()U A A =∅ 2()U A
A U =
逻辑语言
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.
p
q
p q ∧
p q ∨
p ⌝
真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假
假
假
假
真
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；
全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
||(0)x a a <> {|}x a x a −<<
||(0)x a a >>
|x x a <−或}x a >
||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>
把
ax b
+看成一个整体，化成
||x a
<，
||(0)x a a >>型不等式来求解
()()()U U U A B A B =()()()
U
U U A
B A B =
（2）一元二次不等式的解法
判别式
2
4b ac ∆=−
0∆> 0∆= 0∆<
二次函数
2(0)
y ax bx c a =++>的图象
O
一元二次方程
20(0)
ax bx c a ++=>的根
21,242b b ac x a
−±−=
（其中1
函数的表示法2)x x <
122b x x a
==−
无实根
20(0)
ax bx c a ++>>的解集
1{|x x x <；或2}x x >
{|x }2b x a
≠−
R
20(0)
ax bx c a ++<>的解集
12{|}x x x x <<
∅ ∅
不等式
1、0a b
a b −>⇔>；0a b a b −=⇔=；0a b a b −<⇔<．
2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<； ②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；
⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n
a b a b n n >>⇒>∈N >；
⑧()0,1n n
a b a b n n >>⇒>∈N >．
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式：2
0,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根；
（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
线性规划问题：
1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z
ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =−+−-----两点的距离或圆的半径；
4、均值定理： 若0a
>，0b >，则2a b ab +≥，即2
a b
ab +≥．
()2
0,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭
； 2
a b
+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．
5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值）
，则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ． ⑵若xy
p =（积为定值）
，则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
函数的概念（1）函数的概念
①设
A 、
B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f
，对于集合
A 中任何一个数x ，在集合
B 中都有唯一确定的数
()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合
A 到
B 的一个函数，记作
:f A B →．
②函数的三要素：定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法
①设,a b 是两个实数，且a
b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<；的实数x 的
集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，
(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<；的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞−∞−∞．
注意：对于集合{|}x a
x b <<；与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③
()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤
tan y x =中，()2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若
()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式
()a g x b ≤≤解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数
()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在
()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=−⋅≥，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：
就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念
①设
A 、
B 是两个集合，如果按照某种对应法则f
，对于集合
A 中任何一个元素，在集合
B 中都有唯一的元素和它对应，
那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合
A 到
B 的映射，记作:f A B →．
②给定一个集合
A 到集合
B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，
元素a 叫做元素b 的原象． 【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的 性 质
定义
图象
判定方法 函数的 单调性
如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．
． x 1x 2
y=f(X)
x
y f(x )1
f(x )2
o
（1）利用定义
（2）利用已知函数的
单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象上升为增） （4）利用复合函数
y
x
o 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．
． y=f(X)
y
x
o
x x 2
f(x )
f(x )
2
1
1
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象下降为减） （4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，
令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，
则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u
g x =为增，则[()]y f g x =为减．
（2）打“√”函数
()(0)a
f x x a x
=+>的图象与性质
()f x 分别在(,]a −∞−、[,)a +∞上为增函数，
分别在[,0)a −、(0,]a 上为减函数． （3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数
()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有
()f x M
≤；
（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M
是函数
()f x 的
最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数
()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；
（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的 性 质
定义
图象
判定方法 函数的 奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．
f(x)．．．．，那么函数f(x)叫做奇函．．数．
．
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于原点对称）
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