第1讲函数的概念及其表示
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的□1实数集，如果对于集合A中的□2任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□3唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
函数的三要素：□4定义域、□5值域、对应关系.
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域□6相同；②对应关系□7相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有□8解析法、□9列表法和图象法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的□10并集.
常用结论
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几类函数的定义域：
(1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数
集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为
{x|x≠kπ＋π
2，k∈Z}.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()
(3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数()
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()
答案：(1)×(2)×(3)×(4)×
2.回源教材
(1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()
A.y＝(x)2
B.u＝
3v3
C.y＝x2
D.m＝n2
n
解析：B函数y＝(x)2与函数m＝n2
n和y＝x的定义域不同，则不是同一个
函数，函数y＝x2＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数.故选B.
(2)已知f(x)＝x＋3＋1
x＋2，若f(a)＝13
3，则a＝.
解析：f(a)＝a＋3＋
1
a＋2＝
13
3，
解得a＝1或－5 3 .
答案：1或－5 3
(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3＋1
x－2的定义域为.
解析：
x2＋2x＋3≥0，
－2≠0得－1≤x≤3且x≠2.
故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].
答案：[－1，2)∪(2，3]
函数的概念
1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为()
A.A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2
C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x
D.A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0
解析：BD对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；
对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；
对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；
对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数.故选BD.
2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是()
A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2
B.f(t)＝|t|，g(x)＝x2
C.f(x)＝－2x3，g(x)＝－2x
D.f(x)＝x2－9
x－3，g(x)＝x＋3
解析：ACD对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为g(x)＝x2＝|x|，且f(t)，g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝－2x3＝－x－2x，f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g(x)的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选ACD.
3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则
函数y ＝f (x )的图象可能是()
解析：B A 中函数定义域不是[－2，2]；
C 中图象不表示函数；
D 中函数值域不是[0，2]，只有B 可能.
反思感悟
函数概念的判定方法
(1)函数的定义要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.
函数的定义域
例1
(1)(2024·雅安期末)函数y ＝
ln （x ＋1）
4－x
2
的定义域为()
A.(－1，2)
B.(－1，2]
C.(1，2)
D.(1，2]
解析：A ＋1＞0，－x 2＞0
得－1＜x ＜2，所以函数y ＝
ln （x ＋1）
4－x 2
的定义域为(－
1，2).故选A.
(2)(2024·哈尔滨九中考试)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是(
)
A.[－5，5]
B.－1
2
，2
C.[－2，3]
D.12
，2解析：B
函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则－2≤2x －1≤3，解得－1
2
≤x
≤2，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域是－12
，2
.故选B.
反思感悟
函数的表示法
函数定义域的求解方法
(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
(2)求抽象函数定义域的方法：
①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.
②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.
训练1
(1)函数f (x )＝－x 2＋x ＋6＋
|x |
x －1
的定义域为()
A.(－∞，－2]∪[3，＋∞)
B.[－3，1)∪(1，2]
C.[－2，1)∪(1，3]
D.(－2，1)∪(1，3)
解析：C
x 2＋x ＋6≥0，－1≠0，
解得－2≤x ≤3且x ≠1.
(2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为(
)
A.(2，3]
B.(－2，3]
C.[－2，3]
D.(0，3]
解析：
A 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，x －3＞1，－x ≥0，＞2，
≤3，
即2＜x ≤3，故函数F (x )的定义域为(2，3].故选A.