函数及其表示讲义
一、知识梳理
1．函数与映射
函数 | 映射 | |
两个集合A，B | 设A，B是两个非空数集 | 设A，B是两个非空集合 |
对应关系 f：A→B | 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 | 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 |
名称 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 | 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 |
函数记法 | 函数y＝f(x)，x∈A | 映射：f：A→B |
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
注意：简单函数定义域的类型
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}；
(5)指数函数的底数大于0且不等于1；
二、基础检验
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
题组二：教材改编
2．函数f(x)＝＋log2(6－x)的定义域是________．
3．[P25B组T1]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
题组三：易错自纠
5．已知f(x)＝若f(a)＝2，则a的值为( )
A．2 B．－1或2
C．±1或2 D．1或2
6．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
三、典型例题
题型一：函数的概念
1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2．有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
其中正确判断的序号是________．
思维升华：函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．
题型二：函数的定义域问题
命题点1：求函数的定义域
典例 (1)函数f(x)＝ln＋的定义域为( )
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1) D．[－4,0)∪(0,1]
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017]
C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018]
引申探究
本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]，”
则函数g(x)＝的定义域为________．
命题点2：已知函数的定义域求参数范围
典例 (1)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是
(2)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
思维升华： (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．
跟踪训练 (1)函数y＝的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－1,0)∪(0,3) D．(－1,0)∪(0,3]
(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
(3)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是
题型三：求函数解析式
1．已知f＝x2＋x－2，则f(x)＝________.
2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
3．已知函数f函数的表示法(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
思维升华：函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
题型四：分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
典例 已知f(x)＝则f＋f的值为( )
A. B．－ C．－1 D．1
命题点2：分段函数与方程、不等式问题
典例 (1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)设函数f(x)＝g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[0,2－1] B．[－1,2－1]
C．(－∞，－1]∪(0,3] D．[－1,3]
思维升华：(1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
跟踪训练 设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为__________．
四、思想方法
分类讨论思想在函数中的应用
典例 (1)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是______．
思想方法指导：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
五、反馈练习
1．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
2．函数f(x)＝ln ＋的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝，g(x)＝x－2
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