2006年江苏高考数学真题及答案
一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的。 1． 已知a R ∈，函数()sin ||,f x x a x R =-∈为奇函数，则a = （A ）0
（B ）1
（C ）1-
（D ）1±
2．圆22
(1)(1x y -++=的切线方程中有一个是
（A ）0x y -=
（B ）0x y +=
（C ）0x = （D ）0y =
3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3
（D ）4
4．为了得到函数2sin(36
x y x R π
=+∈的图象，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点
（A ）向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）
（B ）向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D ）向右平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
5．10
1)3x
-的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是
（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6
6．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点，满足
||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为
（A ）2
8y x =
（B ）2
8y x =-
（C ）2
4y x =
（D ）2
4y x =-
7．若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有 （A ）A C ⊆ (B)C A ⊆ (C)A C ≠ (D)A =∅ 8．设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||a b a c b c -≤-+- （B ）2
2
11
a a a a +
≥+
（C ）1
||2a b a b
-+
≥-
（D ≤
9．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放入棱长为的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个
10．右图中有一信号源和五个接收器。接收器与信号源在一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每级的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
O 1
O
（A ）
445
（B ）
136
（C ）
415
（D ）
815
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 11．在ABC ∆中，已知12,60,45BC A B ==︒=︒，则AC=
12．设变量,x y 满足约束条件22
11x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
，则23z x y =+的最大值为
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。 14
．cot 20cos10tan 702cos 40︒︒+︒︒-︒=
15．对正整数n ，设曲线(1)n
y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数
列{
}1
n
a n +的前n 和的公式是 16．不等式21
log (6)3x x
++≤的解集为
三．解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或深处步骤。 17．（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分） 已知三点12(5,2),(6,0),(6,0)P F F -
⑴求以12,F F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
⑵设点12,,P F F 关于直线y x =的对称点分别为'
'
12',,P F F 求以'
'
12,F F 为焦点且过点'
P 的双曲线的标准方程。 18．（本小题满分14分）
请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
在正ABC ∆中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE ：EB=CF ：FA=CP ：PB =1：2（如图1），将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）
⑴求证：1A E ⊥平面BEP ；
⑵求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
⑶求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数值表示）。
20．（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）
设a
为实数，记函数()f x =()g a
⑴设t =t 的取值范围，并把()f x 表示成t 的函数()m t ； ⑵求()g a ；
⑶试求满足1
()()g a g a
=的所有实数a
B P
F
B
A 图
21．（本小题满分14分）
设数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：
212,23(1,2,3,)n n n n n n n b a a c a a a n +++=-=++=
证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是{}n c 为等差数列且1(1,2,3,
)n n b b n +≤=
2006年江苏高考数学真题参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．
是符合题目要求的。 1．已知R a ∈，函数a x x f -=sin )(，R x ∈为奇函数，则=a （A ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．1±
2．圆1)3()1(2
2=++-y x 的切线方程中有一个是（C ）
A ．0=-y x
B ．0=+y x
C ．0=x
D ．0=y
3．某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为x 、y 、10、11、9。已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（D ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图象，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图象上的所有点（C ）
A ．向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）
B ．向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）
C ．向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D ．向右平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
5．10
)31(x
x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（B ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
6．已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，+0=⋅NP MN 则动点),(y x P 的轨迹方程为（B ）
A ．x y 82
=
B ．x y 82
-= C ．x y 42
=
D ．x y 42
-= 7．若A 、B 、C 为三个集合，C B B A =，则一定有（A ） A ．C A ⊆ B ．A C ⊆ C ．C A ≠
D ．φ=A
8．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是（C ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．a a a
a 1
12
2
+≥+
C ．21
||≥-+
-b
a b a D ．a a a a -+≤+-+213
9．两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体， 可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面
C
D
A
B
ABCD 与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正 方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个
10．右图中有一个信号源和5个接收器，接收器与 信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号， 否则就不能收到信号。若将图中左端的六个接线点 随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个 接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到 信号的概率是（D ）
A ．
45
4 B ．
36
1 C ．
15
4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．
。 11．在△ABC 中，已知BC =12，A=60o ，B=45o
，则AC= 64 。 .
12．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 18 。
13．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同球不加以区分，将这9个球排成一列有1260
种不同的方法（用数字作答）。 14．︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 2 。
15．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列
}1
{
+n a n
的前n 项和的公式是 221-+n 。 16．不等式3)61(log 2≤++x
x 的解集为
}1{)223,223( +--- 。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分） 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。 （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。
[考点分析：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力]
江苏高考满分多少[解]（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22a x +122
=b
y )0(>>b a ，其半焦距6=c 。
||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53， 936452
2
2
=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为452x +
19
2
=y ； （II ）点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：
)5,2(P '、'1F （0，-6）、'2F （0，6）
设所求双曲线的标准方程为
2
1
2a x -
12
1
2=b y )0,0(11>>b a ，由题意知半焦距61=c ，
|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=， ∴=1a 52，
1620362
1
2
12
1=-=-=a c b ，故所求双曲线的标准方程为202y -116
2
=x 。
18．（本小题满分14分）
请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六 棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如
右 图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离 为多少时，帐篷的体积最大？ [考点分析：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力] [解]设OO 1为x m ，则41<<x
由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ） 故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2
332x x -+⋅，（单位：2
m ） 帐篷的体积为：
)28(233V 2x x x -+=
）（]1)1(3
1
[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ） 求导得)312(2
3
V
'2x x -=）（。 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数。 ∴当2=x 时，）（x V 最大。
答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163
m 。 19．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分） 在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F
的大小（用反三角函数表示）
[解]不妨设正三角形的边长为
3，则
（I ）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ，
∵AE ∶
EB=CF ∶FA=1
∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o
，∴△ADF 为正三角形。 又AE=DE=1，∴EF ⊥AD 。
在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE 。 又BE EF=E ，∴A 1E ⊥面BEF ，即A 1E ⊥面BEP 。
（II ）在图2中，∵A 1E 不垂直于A 1B ，∴A 1E 是面A 1BP 的斜线，又A 1E ⊥面BEP ，∴A 1E ⊥BP ，∴BP 垂直于A 1E 在面A 1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 设A 1E 在面A 1BP 内的射影为A 1Q ，
且A 1Q 交BP 于Q ，
A
F
E
C B A 1
E
F
C
P B
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