华师大版八年级上册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．
2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做的二次方根.
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
要点诠释：一个正数的正平方根用“”表示；的负平方根用“-”表示；因此，一个正数的平方根用“±”表示，其中叫做被开方数.
2.算术平方根的定义
    正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数（≥0）的算术平方根记作“”.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
        （3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念   
1、下列说法错误的是（  ）
A.5是25的算术平方根            B.l是l的一个平方根
C.的平方根是－4            D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为＝5，所以本说法正确；
B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；
C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；
D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）没有平方根．（    ）
（2）．（    ）
（3）的平方根是．（    ）
（4）是的算术平方根．（    ）
【答案】√ ；×； √； ×，
        提示：（2）；（4）是的算术平方根．
2、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（    ）
A. ±1              B.1          C. 2        D. 9
【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【答案】数学八年级上册C．
【解析】
解：根据题意得：2a+1+3a-11=0
解得：a=2．
故选C.
【总结升华】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
3、（2015•前郭县二模）观察下列各式：=2，=3，=4，…请你出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来______________________________.
【思路点拨】根据所给式子，规律．
【答案】．
【解析】
解：=（1+1）=2，
=（2+1）=3，
=（3+1）=4，
…
，
故答案为：．
【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是到规律．
举一反三：
【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是          ．
【答案】7．
类型二、平方根的运算
4、求下列各式的值．
(1)；(2)．
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)；
(2)．
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
举一反三：
【变式】求下列各式的值：
（1）3            （2）
（3）    （4）
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为，长为3，
  由题意得，·3＝1323
              3＝1323
               
                ＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【巩固练习】
一.选择题
1. （2016•泰州）4的平方根是（    ）
A. ± 2              B.-2          C. 2        D.
2．下列各数中没有平方根的是（    ）
A．    B．0          C．        D．
3．下列说法正确的是（    ）
A．169的平方根是13        B．1.69的平方根是±1.3
C．的平方根是－13    D．－（－13）没有平方根
4．若＝－4，则估计的值所在的范围是（    ）
A．1＜＜2          B. 2＜＜3          C. 3＜＜4        D. 4＜＜5 
5.（2015•重庆模拟）若+（y+2）=0，则（x+y）等于（  ）
  A.﹣1        B.1          C.3    D.﹣3
6.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（    ）
A．＋8    B．－4    C．    D．
二.填空题
7．计算：（1）______；（2）______；（3）______；