最值与三角形“费马点”的美丽邂逅
福建省德化县第三中学 许金注
近几年的一些考试命题中，用一些古老的数学问题改编的试题屡见不鲜．如著名的将军饮马问题、费马①点问题、胡不归问题等．这些题型在平时如果没有进行专题训练，要在考试有限的时间内完成，基本上是不可能的．这就要求我们数学老师对这些问题的研究，注重引导学生不断进行总结归纳，对一些基本思路或基本结论相同的数学问题进行模型提练，使相互联系的数学知识系统化、模块化．在模式识别、一模多变的过程中，打通学生的思维通道，拓宽解题思路，拓展解题方法，提升他们分析问题、解决问题的能力．
本文是就“费马点”问题作探究．
给出如下定义：位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为费马点．
证明：如图3，把△APC 绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′． ∴则△APP ′为等边三角形， ∴AP =PP ′，P ′C ′=PC ， ∴P A +PB +PC =PP ′+PB +P ′C ′．
即点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长，
∴PP PB P C BC ''++''≤
图3
∴当B ，P ，P ′，C ′四点在同一直线上时，P A +PB +PC 最小． 这时∠BP A =180°-∠APP ′=180°-60°=120°， ∠APC =∠AP ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°， ∠BPC =360°-∠BP A -∠APC =360°-120°-120°=120°．
因此，当ABC △的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．
【实战运用】
【例1】(湖州中考题)若点P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．
(1)若P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC =60°，P A =3，PC =4，则PB 的值为； (2)如图4，在锐角△ABC 的外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．
解：(1)利用相似三角形可求PB
的值为 (2)设点P 为锐角△ABC 的费马点， 即∠APB =∠BPC =∠CP A =120°
如图4，把△ACP 绕点C 顺时针旋转60°到△B′CE 连结PE ，则△EPC 为正三角形． ∵∠B′EC =∠APC =120°，∠PEC =60°∴∠B′EC +∠PEC =180° 即P 、E 、B′三点在同一直线上
∵∠BPC =120°，∠CPE =60°，∴∠BPC +∠CPE =180°， 即B 、P 、E 三点在同一直线上
∴B 、P 、E 、B′四点在同一直线上，即BB ′过△ABC 的费马点P ． 又PE =PC ，B′E =P A ，∴BB ′=EB ′+PB +PE =P A +PB +PC ．
费马点套路：通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形(等边三角形)、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．即：旋转60°(90°)——构造等边三角形(等腰直角三角形)——两点之间线段最短．
费马点问题是个有趣的数学问题，它告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
图
4
【例2】如图5，点P 是等腰Rt △ABC 内一动点，AB =BC
美丽邂逅求P A +PB +PC 的最小值．
【思路剖析】由“费马点”模型可知，要求P A +PB +PC 的最小值即需将△APB 绕B 点逆时针旋转60°，则能发现本题所隐藏的两组等边三角形，即△BPP ′和△BAA ′，即可把相关线段进行转化；
此时有BP PP =',AP A P ='',PC 保持不动，要想使得P A +PB +PC 的值最小，
只有A P PP PC '''，，三条线段在同一条直线上，如下图6所示，求出线段A C '的长即为最小值．
求A C '的长主要是抓住ABA '∠=60°构造直角三角形，根据A B '=AB
和AB ⊥BC ，可过A '点作A D '⊥BC 于D 点，这构造出了双直角三角形，接下来顺着解直角三角形就可以了．(这是很常见的构造直角三角形)，所
以
A C '=
1+
值得一提的是，这里须要有较强的运算能力，这种题目也是训练运算能力的好题目！ 【运用升华】
【例3】如图，设点P 到等边三角形ABC 两顶点A ，B 的距离分别为3,2.求PC 的最大值.
【思路剖析】
如图，连接PC ，将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°，得到BCP '，则AP CP '=,BP BP '=，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，PC PB BP '≤+(当P ，P’，C 三点共线时取等号)，
故PC 最大值为PB BP '+=2+3=5.
【变式】如图，在四边形ABCD 中，BC =CD ，∠BCD =90°，AB =4，AD =3，求对角线AC 的最大值.
【思路剖析】
将△ACB 绕点C 顺时针旋转90°，得到
A CD '
，
AC A C ''==
，因为7AA AD DA ''≤+=，故AA '最大值为7，此时AC
. 图6
2
图5
反思：这里主要是利用“费马点”旋转的解题思想，通过旋转改变线段的位置，从而达到优化图形．当然这两个题目都还可以用其它的旋转方法来解题！可以试试！
【学习评价】
1.如图7，四边形ABCD 是菱形，AB =4，且∠ABC =60°，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ，AM ，CM ，求AM +BM +CM 的最小值.
2.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，点P 是△ABC 内的一点，
求
2PA 的最小值.
【提示：2)PA PB PC +=++，所以，只要将△APC 绕着A 点逆时针旋转90
°，PP '，这样只要,,,B P P C ''四点在同一条直线上就可以了，接下来就是求BC '了.】
3.如图8，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，已知AB =2，BC PA +PB +PC 的最小值是______.
(
)
核心思想方法：旋转三角形，利用直角三角形对线段n
PA m
进行等线段转换，转化为垂线段最短问题．
核心解题步骤：
第一步，将所求的线段和改写成n PB PA m +
（m
n
＜1）形式； 第二步，在AD 的一侧，与AB 的异侧，构造一个角α，使得sin α=
n
m
； 第三步，过点B 作第二步所构成的角一边的垂线，该垂线段的长度就是所求最小值；
说明：①皮耶·德·费马(PierredeFermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶
·德·费马具有律师的全职工作．
图8
图7
N
M E
D
C
B
A
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