2022年全国硕士研究生入学统一考试（数学一）模拟试卷三
解
答
(1)答案：选（C）.解0x =为间断点.
当0a =时，0,1x x ==均为可去间断点，不合题意.
当0a ≠时，2
00lim ()lim ()0x x a f x f x b
-
+
→→=-=.此时0x =为跳跃间断点.另外考虑可去间断点，111
11111
111
lim
lim
lim 11(1)
x x x x
x x x x e e e e
e e x
→→→----===----.即b e =-时，1x =为可去间断点，选（C）.
（2）答案：应选(C).
解
由隐函数的求导法则，可知
1(),1()1()
z z z x y z y y z ϕϕϕ∂∂==''∂-∂-，()
()1()
u z f z f z x x y z ϕ'∂∂'=='∂∂-，()()()1()
u z f z z f z y y y z ϕϕ'∂∂'=='∂∂-，所以()()()()()
01()1()
u u z f z z f z z x y y z y z ϕϕϕϕϕ''∂∂-=-=''∂∂--，故选(C).
（3）答案：选（D）.解
设()ln 1()10e x e
f x x e x f x x e x x
-
'=--⇒=-
=⇒= .x
(,0)
-∞0
(0,)
e e
(,)
e +∞()
f x '+
不存在-
+
()
f x 单增
不存在
单减
()1
f e =-单增
因为0
lim (),lim (),lim (),()1x x x f x f x f x f e →-∞
→→+∞
=-∞=+∞=+∞=-，所以方程在(,0)-∞，(0,)e ，(,)e +∞内各有一个根，选（D）.
（4）答案：选(D).
解由奇偶对称性和轮换对称性可知，
2
2
2222
422422411d d ()d d 0()d d 22x
y x y x y D
D D
I xe x y x y e x y x y e x y ------=+
+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,22
2
2
2
2
2
2
44
24
2220
1
1
()d d 4d e
d 4d
e d x y r r D x y e
x y e
r r r e
r r r
π
πθθ----+==⋅⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰2
2
22
4
224244131
1
14e e d e (1)e e (5e 2)(25)22r r
r r r e e ππππ----=⋅⋅=--=-+=-⎰，
所以3(25)2
I e π
=
-.（5）答案：选（B ）.
解由()2r A =()()*
*
1312r A n r A ⇒=⇒-=-=，则*
0A x =
的基础解系中含两个解向量，
又由()2r A =⇒0A =*
0A A A E A ⇒==⇒的列向量都是方程*
0A x =
的解向量，即
*****1010,2,1,0,3,2,401010,(5,3,4)0,
T T T T T A A a A a A A -==-=⇒-==（，，）（）（）（，，）且101,(5,3,4)T
T
-（，，）线性无关，则*
0A x = 的通解为12
12101534,,x k k k k =-+ T T
（，，）（，，）为任意常数.选（B ）
注若由()2r A =求出a ，即得矩阵,A 再求出*
A ，最后解方程*
0A x =
，麻烦！
（6）答案：选(B).
解若C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则c A C A O O B O B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，可得
()()A C r r A r B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
；反之，令100100,,001001A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，C 的列向量组不能由A 的列向量组线性表
示，但()()A C r r A r B O B ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
.（7）答案：选(C)．解
（A ）不正确，反例：1111,1100A B ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，21
r r A B -−−−→．:2,0,:1,0A B λλ(B)不正确，反例：1000,0000A B ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的行列式相等，但它们的秩不相等．
（D ）不正确，反例：1120,1100A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
相似，但0Ax = 与0Bx =
不同解．
（C ）正确，0Ax =
与0Bx =
均只有零解说明二者秩均为n ，从而等价．（8）答案：选（A ）．解
由题意(),(2p P B A p P B A ==
，2
(1)(),()2
考研时间2022考试时间
p p P AB p P AB -==，故2()2p p P B +=，2
3()()()()2
p p P A B P A P B P AB -=+-= ．（9）答案：选（C ）．解
由2
2
1X Y +=知（A ）、（B ）、（D ）不正确．由于
20
1
cos 02EX d πθθπ==⎰
，201sin 02EY d πθθπ==⎰，201()cos sin 02E XY d πθθθπ==⎰，
故()E XY EXEY =，所以X 与Y 不相关，（C ）正确．
（10）答案：选（B ）．
解由于100
(),1,2,,!!i
k k X k
a a k k a E a a e e e e e i n k k λλ
λλλλλ∞
∞---(-)==()=⋅==⋅==∑∑ ，故由
11111
111i i
n n n X X a a i i i E a E a e e e n n n λλλ(-)(-)===()=()===∑∑∑，解得2a =．
二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位置上．
(11)答案：填
322
2(1)
2
ππ++.
解
cos :sin x L y θθθθ
=⎧⎨=⎩，()sin cos ()cos sin y y x θθθθθθθθ'+'==
'-，23
sin cos 1
2cos sin ()(cos sin )y x θθθ
θθθθ
θθθθ++⎛⎫''== ⎪'--⎝⎭
，⇒2,2y y θπθπππ=='''==+，
所以33222
2
1(1)(1)
2
y R K y ππ'++=
==''+.（12）答案：填
1
2
.
解
记23
sin (sin cos )
x
I dx x x π=
+⎰
，令2x t π=-，则2222322
00cos 111sec (sin cos )2(sin cos )2(tan 1)t x I dt dx dx
t t x x x πππ===+++⎰
⎰⎰22020
1(tan 1)1112(tan 1)2tan 1
2
d x dx x x ππ
+==-=
++⎰.(13)答案
.
解
(1,1,1)222
(1,1,1)
(){4,1,3}23i j k
l rot A x y z yz x z xy ∂∂∂==
=-∂∂∂
，0l =，222(1,1,1)
(1,1,1)
1+3u
x x
x y z ∂=
=
∂+，由对称性可知(1,1,1)
(1,1,1)
1
3
u u
y
z
∂∂=
=
∂∂.
所以
(1,1,1)
111333u l
∂=⋅⋅∂（14）答案：填4ln 3-.
解令2222
,y x
P y Q x x y x y =+=---，则222221()P x y Q y x y x
∂+∂=+=∂-∂，因此该积分在包含L ，且x y <；的任意单连通区域内积分与路径无关，故取1:2,:11L y x =-→，则
1
1
211212111
(2)d 4ln 4(ln ln 3)4ln 9422232
L x x x x ---=+=+=+-=--+⎰⎰，或
1
1
21121211
(2)d 4ln 4(ln ln 3)4ln 342223
L x x x x ---=+=+=+-=--+⎰⎰.（15）答案：填100
0210
01210012
1⎛⎫
⎪-
⎪ ⎪-
⎪-⎝⎭
.解
1[()]T T A E C B C E E ---=⇔[()]()T T A C B E E A C B E E --=⇔--=，
则(
)
1
()
.T
A C
B E -=--因为
12340
12300120
001C B E ⎛⎫ ⎪
⎪--= ⎪
⎪⎝⎭，10
002100()321043
21T
C B E ⎛⎫
⎪
⎪
--= ⎪
⎪⎝⎭
，则
()110002100()1210012
1T A C B E -⎛⎫
⎪- ⎪=--= ⎪-
⎪-⎝⎭
．（16）答案：填3
a
.
解
分别用X,Y 表示两点的坐标，则Z X Y =-，且
21
00,(,)~(,)()()0X Y x a y a X Y f x y f x f y a
⎧≤≤≤≤⎪=⋅=⎨⎪⎩，
其它.
20
13
a
a
a
EZ dx x y
dx a =-=
⎰⎰.三、解答题:17～22小题，共70分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
（17）解此二阶常系数非齐次线性方程得通解为
33231212
x x x y C e C xe x e =++
.由(0)0,(0)0y y '==得120C C ==，故231
()2x y x x e =.则
tan ln(1)200023tan [(1)1](tan )1lim lim 2lim
1()2
x
x x x x x e x x x x
x e e x e e e y x x x e +→→→+-+--==200tan tan ln(1)
22lim 2lim
x x x x
x e e x x e
→→+===.（18）解(Ⅰ)1
1(1)()11lim 11()
1
n n n x n x x x x n x +→∞-+-+=-++，令111x x -<+，可知0x >，故收敛区间为(0,)+∞，当0x =时，
1
(1)
n
n n ∞
=-∑发散，所以收敛域为(0,)+∞.令
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