最大公因数
【专题剖析】
1、公因数和最大公因数
整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而余数为零,我们就说,a能被b整除,a就叫做b的倍数,b叫做a的因数。几个数公有的因数叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
例如:12的因数有1,2,3,4,6,12;
30的因数有1,2,3,10,15,30
12和30的公因数有1,2,3,6,其中6是12和30的最大公因数。
一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公因数,如(12,30)=6。如果(a,b)=1,则a,b两个数是互质数。
2、求两个数的最大公因数一般有以下几种方法:
(1)分解质因数法;(2)短除法;(3)辗转相除法(4)小数缩倍法;(5)公式法a×b=(a,b)×[a,b]
3、理解最大公因数的概念,运用最大化因数的性质,学会求最大公因数的常用方法,便能熟练地解决目常生活中出现的相关问题。本讲除了短除法还卖介绍另一种辗转相除法求最大公因数。
例题精讲一：
【思路导航】6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米,所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1,3,5,15,所以有4种裁法
如果要使正方形面积最大,那么边长也应该最大,应该取75
和60的最大公约数15作为正方形的边长。所以可以裁(75÷15)x(60÷15)=20(块)。
答:有4种裁法,最大的正方形可以裁20块。
试一试：1.把一张135厘米长、105厘米宽的长方形纸,裁成同样大小的正方形,并且无剩余,至少能裁多少块?
2.一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板,把它锯成若干块大小相同的正方形而无剩余,所锯成的正方形的边长最长是多少厘米?
3、有三根铁丝,长度分别是80厘米、120厘米和200厘米。现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,则每小段最长多少厘米,一共可以截成多少段？
例题精讲二：
思路点拨：要把长方体切成相等的小正方体而没有剩余,小正方体的棱长必须是长方体长、宽和高的公约数。要使小正方体的棱长最长,棱长就取长、宽和高的最大公约数。
完全解题
小正方体的棱长最大是:(30,12,18)=6
可切成小正方体木块的个数为
(30÷6)×(12÷6)×(18÷6)=30(个)
答:小正方体木块的棱长最长是6厘米,可切成30个小正方体木块。
试一试：1、一个长方体木块,长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,正方体的棱长最大是多少分米?
【思路导航】2.7米=270厘米,1.8分米=18厘米,1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体,不许有剩余,正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大,所以棱长就是长、宽、高的最大公约数
(270,18,15)
3厘米=0.3分米
答:正方体的棱长最大是0.3分米。
2、一个长方体木块的长是45厘米、宽36厘米、高24厘米要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米?可以切成多少个小正方体木块？
3、有50个梨、75个橘子和100个苹果,要把这些水果平均分给几个小组,并且每个小组分得的三种水果的个数也相同,最多可以分给几个小组?每个小组分多少个梨、橘子和苹果？
4、今有胡桃320个,卷糖240支,甜饼200个,将这些物品装成数量相同的礼品袋送给幼儿园的小朋友,袋数要最多,可装多少袋,每袋三种食品各有多少?
5、用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱?
例题精讲三：
一个数除200余4,除300余6,除500余10。求这个数最大是多少?
【思路导航】个数除200余4可以转化为196能被某一个数整除,另两个条件可以转化为:294和490都被那个数整除。求这个数最大是多少,也就是求196,294和490的最大公约数是多少。
(196,294,490)=98
答:这个数最大是98
试一试：1.一个数除425余5,除500少4,除300余6,这个数最大是多少?
2.如果把110本练习本平均分给五(1)班同学,则多5本;如果把210本练习本平均分给这个班同学则正好分完;如果把240本练习本平均分给这班同学,还少5本。五(1)班最多有多少名同学?
3.一个数,除410时余5,除242时少1除550时余10。这个数最大是多少?
例题精讲四：
两个数的和是70,它们的最大公因数是7,这两个数的差最大是多少?
试一试：1、两个数的和是50,它们的最大公因数是5,这两个数的差最大是多少?
2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙两村相距360米,乙、丙两村相距675米。现在准备在路边栽树,要求相邻两棵树之间距离相等,并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树。
求相邻两棵树之间的距离最多是多少米?
【思路导航】由于甲、乙,乙、丙的两村中点各要种上一棵树,所以要将360÷2=180(米)、675÷2=337,(米)平均分成若干段,并且使每段的长度最长。因为(675,360)=45,而180=360÷2，337=675÷2,所以,45÷2=22(米),即相邻两棵树之间距离最多是22米。
3、有336支铅笔,252块橡皮,210个文具盒,用这些文具,最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中,铅笔、橡皮、文具盒各有多少?
例题精讲五：
用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸,剪成面积相等的正方形,并且最后没有剩余。这些正方形的边长最长是多少?
思路导航】前面的例题已经告诉了我们,解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但这道题中,长和宽的数比较大,最大公约数比较难求出。这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。
第一步:1072÷469,余134
第二步:469÷134,余67一村一大
第三步:134÷67,没有余数,所以用67毫米为正方形的边长
来剪,正好能剪(1072÷67)×(469÷67)=12(个)正方形。即这些正方形的边长最大是67毫米。
上面求两个较大数的最大公约数的方法叫“辗转相除”法。
所以(1072,469)=67。
试一试：1.用辗转相除法求568和1065的最大公约数。
2.试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。
3、判断是不是最简分数。
4、有一个自然数分别除360、314、245,得到相同的余数,问这个自然是几?(余数一同减掉)
5、用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？
达标测试
1、有三根钢管,分别长20m240cm.30cm,现在要把这三根钢管截成尽可能长面且又相等的小段,一共能截成多少段?
2、某苗圃的工人加工一种精巧的盆景,第一批加工1788个,第二批加工1680个,第三批加工2098个,各批平均分给工人加工,分别剩下7个、3个、5个,问:最多有多少工人参加加工?
3、用辗转相除法求6731和2809的最大公约数。
4、有一个数分别去除492,224,395余数都是15,求这个数最大是多少?
5、一张长方形纸长112厘米,宽80厘米,把它剪成若个同样大的正方形,使边长是整厘米,且不能有剩余,最少能剪多少个?
最小公倍数
【专题剖析】
1、公倍数和最小公倍数
整数a除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而余数为零,我们就说a能被b整除,a就叫做b的倍数,b叫做a的因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
例如:12的倍数有12,24,36,48,60,72⋯
18的倍数有18,36,72,90,⋯
12和18的公倍数有:36,72…其中36是12和18的最小公倍数。
一般地,我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数,如[12,18]=36。
发布评论