【法3】作 F T⊥AB 交BD于T,2TF=TB= DB-DT=n-DT
【互六法】 + =60°,∠C=∠DTF=120°,阴影△∽,
①D在线段CB 上,AC=n(k +1)
, DT=,阴影△∽,==3k-1
②D在CB延长线上,AC=n(k-1),, DT=,
阴影△∽,==3k-1
求证:AO⊥CD,CD=2kAO.
【简释】
【中垂线、中位线法】
蓝△∽,令AG=n则BD=2kn, + =90°,△AGO∽△DBC
【对顶点P】AO⊥DC
730. 【☆☆☆☆】 ABC,AB=AC,tan∠ABC=,△BED,∠BED=90°,∠EDB=∠ABC,点F在线段CD上,EF交AD于K,∠DFE=∠ABC,则=()
【简释】
【平行线段成比例】
作UB=UD,连接UA交BD于G,△ABC∽△UBD,=,阴影 ∽ ,【对顶点G】易得 ,故EK∥UA,令UD=UB=25k,则DB=30k,ED=18k,ED=7k,故DK:KA=ED:EU=18:7
第18卷 共顶点问题
【简释】
【平移法】【互余法】
△OSW≌△UOR【边锐角】UR=OW,△OTW≌△VOQ【边锐角】QV=OW,故UR=QV,
又UM′=OL=OK=VN′,∴RM′=QN′,易得PM′=PN′
731-1【变型】等腰梯形ABCD,正方形ADEF,M,N分别是CD,BE的中点,求证:∠CMN=135°
【简释】
【中位线法】
MT⊥平分AB, TAON, NODV,NT=OA=OD=NV,∠TNV=∠AOD=90°,
【对角互补旋转法】作NK⊥NM,
【牵手≌】黄△≌,【ASA】NK=NM
等腰Rt△KMN,∠KMN=45°,故∠CMN=135°
732. 【☆☆☆】以梯形ABCD的两腰为直角边向外作等腰Rt△ADE与等腰Rt△BCF,G为EF的中点。求证:GC=GD.
【简释】【天使来函】
【法1】四边形ABFE, + + + =360°-∠DAE-∠DEA-∠CBF-∠CFB=180°【周角法】
【8字≌法】作GM=GC,易得 ,作 BCDN,∠ADN= + =∠DEM,蓝△≌【SAS】
∠EDM=∠DAN= ,∠MDC=360°-( + + + )-∠ADE=90°
【斜边中线法】GC=GD
【法2】【外M型≌】2对蓝黄△≌【边锐角】EN=DM=CP=QF,EN∥QF,∠GEN=∠GFQ,连接GN,GQ,灰△≌【SAS】易得N,G,Q共线,G是NQ中点,取DC中点H,GH是直角梯形DNQC的中位线,GH⊥平分DC,GC=GD
【法3】直角梯形ENQF,【牵手≌】同△≌【边锐角】ND=DM=CP=CQ,取DC中点H,则HN=HQ,GH是直角梯形ENQF的中位线,GH⊥平分DC,GC=GD
第1章 共直角顶点的两个直角三角形问题
773. 【☆☆☆】△ABC,以AB,AC为直角边向外等腰Rt△ABM,Rt△CAN,连接MN.
(1)G为MN中点,连接GA并延长交BC于H,求证:GH⊥BC.
(2)AH⊥BC于H,延长HA变MN于G,求证:GM=GN,2AG=BC
【简释】
【等边转换】
(1)【s字≌】MP∥AN,【同旁内角互补】∠AMP=∠BAC,黄△≌,∠1+ =90°,GH⊥BC
(2)【法1】作MP∥AN,∠1+ =90°,∠2+ =90°,黄△≌【AAS】AP=BC
MP=AC=AN.【8字≌法】易得GM=GN,GP=GA,BC=AP=GA+GP=2GA
【法2】同△≌【边锐角】MV=AH=TN,【8字等高法】GM=GN,(TV=2GV)
BC=BH+HC=AV+AT=AV+(AV+TV)=2AV+2GV=2AG【暗度陈仓】
【法3】∠1+ =90°,截BT=AG,黄△≌【SAS】得 ,∠2+ =90°,l蓝△≌【AAS】
GM=AT=GN,BC=BT+TC=AG+AG=2AG
733-1【同形】△ABC,高AH,AB蓝瘦香菇是什么意思⊥AM,AB=AM,AC⊥AN,MN交AH于G,
求证:NG=MG
【简释】
【蓝胖香菇】 + =90° , + =90°
【法1】作NT∥AM ,△ANT≌【AAS】NT=AB=AM,【8字≌法】NG=MG
【法2】作NT⊥AH,黄△≌【边锐角】NT=AH;作MH⊥AH.蓝△≌【边锐角】NV=AH,故NT=MV,【8字≌法】NG=MG
【法3】【牵手≌】蓝△≌【SAS】 ,AG∥MV,AG是中位线,故NG=MG
【法4】截CK=AG,△NAG≌△ACK【SAS】NG=NK,△MGN≌△AKB【AAS】MG=AK,故NG=MG
733-2【同理】△ABC,AB⊥AM,AB=AM,AC⊥AN,AC=AN,AH⊥MN于H,AH延长线交BC于G,求证:BG=CG
【简释】【蓝瘦香菇】
【法1】a+ =90° , + =90°
【法1-1】作BV∥AC ,△BAV≌△AMN【AAS】BV=AN=AC,【8字≌法】BG=CG
【法1-2】作CT⊥AG,黄△≌【边锐角】CT=AH,作BV⊥AG,蓝△≌【边锐角】BV=AH
故GT=BV,【8字≌法】BG=CG
【法3】【牵手≌】△ABC≌△AMV【SAS】 ,BC=MV,取MV,取MV中点T,中位线AT,AT∥MN,故AH⊥AT,a+ =90° ,蓝△≌【ASA】BC=MV=2TV=2GC,故BG=CG
733-3【同型】△ABC,中线AG,AB⊥AM,AB=AM,AC⊥AN,AC=AN,AG交MN于H,求证:AH⊥MN
【简释】【魔幻香菇】
【法1】【8字≌】作GV=GA,△CAG≌△BVG【SAS】VB=AC=AN
∠CAG=∠BVG= ,AC∥BV
∠CAB+∠NAM=∠NAC+∠BAM=180°=∠CAB+∠VBA
∠NAM=∠VBA,阴影△≌【SAS】 ,a+ =90°,故AH⊥MN
【法2】【牵手≌】作AV=AN,做中线AT,△ABC≌△AMV【SAS】AT=AG,BC=MV,BG=MT
蓝△【SSS】a+ =90°,AH⊥AT,AT是中位线,故AT∥MN,故AH⊥MN
733-4 【同型】正方形AVBE,PTKV,DFCT,G是BC中点,GP延长线交AD于H,求证:GH⊥AD。
【简释】
【法1】作等腰Rt△APR等腰Rt△DPL;黄△∽,BR=PV,蓝△∽,CL=PT
PT=PV,故BR=CL,【同旁等角】 , , =45°,BR∥CL ;连接GR,GL
绿△≌【SAS】易得R,G,L三点共线,RG=LG,【8字≌】作GU=PG,则RU=PL=PD
∠URP=180°-∠RPL=∠DPA,粉△≌【SAS】∠1+∠2=90°,故GH⊥AD
【法2】绿△≌【SAS】PB与AK垂直相等,蓝△≌【SAS】PC与DK垂直且相等
【8字≌】UB=PC=DK, + =180°,灰黄△≌【SAS】 ,【对角互补】GH⊥AD
733-5【同型】△ABC,正方形ABCD,正方形ACGF,P是BC中点,求证:S△PDN=S△PEG
【简释】
【8字≌法】AF=AC=BQ,易证△ABQ≌△EAF【SAS】
+ =90°,即PAH⊥EF
【外M型≌】ME=AH=FN=m
【正弦定理面积法】AD=AE
AG=AF,S△AEG=S△ADF
S△PAE+S△PAG=PA(n+k+m)
s△PAD+S△PAF=PA(m+n=k)
综合:易得S△PDF=S△PEG
734.【☆☆☆☆】等腰Rt△AOB,等腰Rt△DOE,B,O,E三点共线,AO=BO=10,DO=EO=6,将Rt△DOE绕点O顺时针旋转60°,得到△D′OE′,OC⊥BE′于C,CO延长线交AD′′于F,求CF的长
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