第五讲  三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.
例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.
    分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形
O1PO2QO3S后再由外
心性质可知
      ∠PO1S=2∠A，
      ∠QO2P=2∠B，
      ∠SO3Q=2∠C.
      ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+
∠O2QO3+∠O3SO1=360°
      将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
      ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
              =(∠O2O1S+∠SO1K)
              =(∠O2O1S+∠PO1O2) =∠PO1S=∠A；
      同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.
二、重心
    三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
      (第26届莫斯科数学奥林匹克)
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB
，BC相交.从A，C，D，E三角形的内角，F分别
作该直线的垂线，垂足为A′，C′，
D′，E′，F′.
      易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
      ∴EE′=DD′+FF′.
      有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
      两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.
   
三、垂心
    三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为
△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
      (1992，全国高中联赛)
分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径
为R.由△A2A3A4知
      =2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；
      由△A1A3A4得
      A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
      但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.
      易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1  A1H2，
      故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.
      同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.
例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
      求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.
      (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设
   
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
例7．ABCD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABC，△BCD，
△CDA的内心O1， O2，O3，
O4.求证：O1O2O3O4为矩形.
      (1986，中国数学奥林匹克集训题)
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？
      如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.
      ∵QK·AQ=MQ·QN，
      ∴QK=
          ==.
      由Rt△EPQ知PQ=.
      ∴PK=PQ+QK=+=.
      ∴PK=BK.
      利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
    三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.
      式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.
(IMO-12)
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知
OD=OA′·
  =A′B′··
  =A′B′·，
O′E= A′B′·.∴.
亦即有
·= ==.
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；
            (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.
      (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，
      IF=EF=FA，
      IB=AB=BC.
      再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用      不等式有：
      BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
      不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.
      ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.
      ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
      =AD+BE+CF.
      I就是一点两心.
例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.
      (加拿大数学奥林匹克训练题)
分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
CD交AM于G，G必为△ABC重心.
连GE，MF，MF交DC于K.易证：
DG:GK=DC:()DC=2:1.
      ∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.
      ∵OD丄AB，MF∥AB，
      ∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.
      易证OE丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.
      (1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.
      易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
      利用内心张角公式，有
      ∠AIB=90°+∠C=105°，
      ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.
      ∵∠AKB=30°+∠DAO =30°+(∠BAC-∠BAO)
            =30°+(∠BAC-60°) =∠BAC=∠BAI=∠BEI.
      ∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，
      ∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
      同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
      由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距
离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
求证：1·d垂+2·d外=3·d重.
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
半径为1，三个内角记为A，B，
C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
=cosA+cosB+cosC，
      ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC).                      ①