北师大版初二数学下册 《活用 “三线合一” 巧解题》讲义
【名师点睛】等腰三角形〝顶角均分线、 底边上的高、底边上的中线〞
只需知道此中〝一线〞， 就能够说明是其余〝两线〞。 运用等腰三角形〝三
次数，简化解题过程。
[ 技巧 1]利用〝三线合一〞求角
1.如图 ,房子的顶角∠ BAC=100°，过屋顶 A 的立柱 AD ⊥BC，屋椽 A
B=AC ，求顶架上∠ B、∠ C、∠ BAD 、∠ CAD 的度数。
解答： | |||||||||
∵△ ABC 中,AB=AC, ∠BAC=100° | |||||||||
∴∠ B=∠C= 1 | ° | ∠ | BAC)= | 1 | (180 | ° | ° | ° | |
2 | (180 - | 2 | - 100 )=40 | ||||||
∵AB=AC,AD ⊥BC,∠BAC=100° ∴AD 均分∠ BAC
∴∠ BAD= ∠CAD=50.
[ 技巧 2]利用〝三线合一〞求线段
2.如图，在△ ABC 中，AB=AC ，AD=DB=BC ，DE⊥AB 于点 E，假定CD=4，且△ BDC 的周长为 24，求 AE 的长。
解答：
∵AD=DB=BC ，CD=4，且△ BDC 的周长为 24
∴AD=DB=BC=10
∴AC=14
∵AB=AC
∴AB=14
∵AD=DB ，DE⊥AB
∴AE=BE= 1 AB=7.
2
[ 技巧 3]利用〝三线合一〞证全等
3.：三角形 ABC 中,∠A=90° ，AB=AC ，D 为 BC 的中点，如图， E，初二数学下册 F 分别是 AB ，AC 上的点，且 BE=AF ，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。
解答：
证明：连结 AD
∵AB=AC, ∠ A=90°，D 为 BC 中点 ∴AD=BC2=BD=CD
且 AD 均分∠ BAC
∴∠ BAD= ∠CAD=45 °
在△ BDE 和△ ADF 中， BD=AD ，∠ B=∠DAF=45 °，BE=AF ∴△ BDE≌△ ADF
∴DE=DF ，∠ BDE=∠ADF
∵∠ BDE+ ∠ADE=90 °
∴∠ ADF+ ∠ADE=90 °
即：∠ EDF=90°
∴△ EDF 为等腰直角三角形。
[ 技巧 4]利用〝三线合一〞证垂直
4.如图，△ ABC 中， AC=2AB ，AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D，E 是 AD
上一点，且 EA=EC ，求证： EB⊥AB.
解答：
证明：作 EF⊥AC 于 F，
∵EA=EC ，
∴AF=FC= 1 AC
2
∵AC=2AB
∴AF=AB
∵AD均分∠BAC 交BC于D
∴∠ BAD= ∠CAD
在△ BAE 和△ FAE 中， AB=AF ，∠ BAD= ∠CAD ，AE=AE
∴△ ABE ≌△ AFE(SAS)
∴∠ ABE= ∠AFE=90°
∴EB⊥AB.
[ 技巧 5]利用〝三线合一〞证线段的倍数关系
5.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90 °，BF 均分
∠ABC ，CD⊥BF 交 BF 的延伸线于点 D.求证： BF=2CD.
解答：
证明：延伸 BA 交 CD 的延伸线于点 E.
∵BF 是∠ CBA 的角均分线 ∴∠ CBF=∠ DBA
∵BD⊥CE
∴∠ BDC= ∠EDB
∵∠ CBF=∠ DBA ，BD=BD ，∠ BDC= ∠EDB ∴△ BDC≌△ BDE
∴CD=DE
∵∠ BAC=90 °
∴AC⊥AB ，即△ BAF 是直角三角形 ∵∠ BAC=90 °，∠ BDC=90° ∴∠ BAC= ∠BDC
∵∠ DBA+ ∠BED= ∠BDC ，∠ECA+∠AEC= ∠BAC ，∠BAC= ∠BDC，
∠AEC= ∠BED
∴∠ DBA= ∠ECA
∵∠ DBA= ∠ECA，AB=AC ，∠ BAC= ∠CAE=90 °
∴△ CAE≌△ BAF
∴BF=CE
∵CD+DE=CE ，CD=DE ，BF=CE
∴BF=2CD.
[ 技巧 6]利用〝三线合一〞证线段的和差关系
6.如图，在△ ABC 中， AD ⊥BC 于点 D，且∠ ABC=2 ∠C.
求证： CD=AB+BD.
解答：
证明：在 DC 上一点 M，使得 DM=DB ，连结 AM.
∵AD ⊥BC，DM=BD
∴AD 是 BM 的垂直均分线
∴AB=AM
∴∠ B=∠AMB
∵∠ B=2∠C，∠ AMB= ∠C+∠MAC
∴∠ MAC= ∠C
∴AM=CM
∴CM=AB
∴CD=DM+MC=BD+AB.
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