湘教版七年级数学下册知识点归纳
第一章  二元一次方程组
一、二元一次方程组
1、概念：
①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的方程，叫二元一次方程。
②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：
  使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。
  使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。
注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。
二元一次方程组的解的讨论：
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
已知二元一次方程组         
1、当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解；
2、当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时，无解；
3、当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时，有无数解。
例如：对应方程组：①、              ②、                ③、
例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：
①、                    ②、                  ③、                      ④、
 
3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：
  用含X的代数式表示Y，就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用含Y的代数式表示X，则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。
例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代数式表示y为：___________,用含y的代数式表示x为:____________。
4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：
要抓住两个方面：①、未知数的指数为1，②、未知数前的系数不能为0
例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于x、y的二元一次方程，求a、b的值。
5、求二元一次方程的整数解
例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解。
思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围，然后再进一步确定解。
解：用含x的代数式表示y: y = 9/2 – (3/4)x    用含y的代数式表示x: x = 6 – (4/3)y
因为是求正整数解，则：9/2 – (3/4)x > 0  , 6 – (4/3)y > 0
所以，0 < x < 6  ,0 < y < 9/2
所以，当 y = 1时，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去 ；  当 y = 2时，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去 ；当 y = 3时，x = 6 – 12/3 = 2  , 符合 ；  当 y = 4时，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去 。
x = 2
y = 3
  所以，3x + 4y = 18 的正整数解为：
再例：①、如果          是方程组                  的解，求 a-b 的值。
      ②、甲、乙两人共解方程组                    由于甲看错了方程①中的a，得到的方程组的解
为        乙看错了方程②中的b，得到的方程组的解为            试计算a^2009 + (-b/10)^2010的值。
二、二元一次方程组的解法——消元  （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）
初二数学下册1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表
示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：
    ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；
⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质
可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。
注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：
    ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；
②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。
例：解方程组：
①、                                                ②、
3、用换元法解方程组：
根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解。
5/(x+1) + 4/(y-2) = 2
7/(x+1)– 3/(y-2) = 13/20
例：ⅰ、解方程组：
   
ⅱ、已知方程组              的解是          ，则方程组                       
的解是：（      ）
A、            B、            C、              D、
4、用整体代入法解方程组：
2x - y = 6          ①
(x+2y)(4x–2y)= 192  ②
例：解方程组：
 
解：将②变形为：(x+2y)×2(2x–y)= 192  ③  ，把①代入③得：(x+2y)×2×6 = 192  ,即 x+2y = 16 ④
再把①和④组成新的方程组：                  解得：
5、另外几种类型的例题：
（1）、若︱m + n – 5︱ + (2m + 3n - 5)²= 0 ,求(m - n)²的值。
（2）、已知代数式x²+ ax + b，当x = -1时，它的值是5，当x =1时，它的值是-1，求当x =2时，代数式的值。
（3）、已知方程组                  与                  有相同的解，求m，n的值。
3x - 5y = 2m
2x + 7y = m-18
（4）、已知方程组                  的解x、y互为相反数，求m、x以及y的值。
2x - y = k
3x + y = k+1
（5）、关于x、y的方程组                的解，也是方程2x + y = 3的解，求k的值。
（6）、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：
每天可以精加工6吨或者粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？
三、实际问题与二元一次方程组
1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）
2、列方程组解应用题的常见题型：
（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量；
（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；
（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等；
（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速；
                ②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速；
（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）；
（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量；
（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；
（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；