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抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下．
一、函数的基本概念问题
1．抽象函数的定义域问题
例1已知函数的定义域是[1，2]，求的定义域．
解：由的定义域是[1，2]，是指1≤x≤2，所以1≤x≤4，
即函数的定义域是[1，4]．
评析：一般地，已知函数的定义域是A，求的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题．
例2已知函数的定义域是[－1，2]，求函数的定义域．
解：由的定义域是[－1，2]，意思是凡被作用的对象都在[－1，2]中，由此易得
－1≤log(3－x)≤2 ()≤3－x≤()1≤x≤．
∴函数的定义域是[1，]．
评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是A，求函数的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数的定义域是A，则x必须是A中的元素，而不能是A以外的元素，否则，无意义．因此，如果有意义，则必有xA．所以，这类问题实质上相当于已知的值域是A，据此求x的取值范围，即由A建立不等式，解出x的范围．例2和例1形式上正相反．
2．抽象函数的值域问题
例4 设函数(x) 定义于实数集上，对于任意实数x、y，(x + y) =(x)(y)总成立，且存在x≠x，使得(x)≠( x)，求函数(x)的值域．
解：令x = y = 0，得(0) =(0)，即有(0) = 0或(0) = 1．
若(0) = 0，则(x) =(x + 0) =(x)(0) = 0，对任意x∈R均成立，这与存在实数x≠x，使得(x)≠( x)成立矛盾．故(0)≠0，即(0) = 1．
由于(x + y) =(x)(y) 对任意x、y∈R均成立，因此，对任意x∈R，有
(x) =(+) =()() = [()]≥0．
下面只需证明，对任意x∈R，(0)≠0即可．
设存在x∈R，使得( x) = 0，则(0) =( x－x) =( x)(－x) = 0，
这与(0)≠0矛盾，因此，对任意x∈R，(x)≠0．
高中数学教案
所以(x)＞0．
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．
3．抽象函数的解析式问题
例5 设对满足 x≠0，x≠1的所有实数 x ，函数(x) 满足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式．
解：在(x) +() = 1 + x ， (1) 中以代换其中 x，得：
() +(－) = ， ⑵
再在(1)中以－代换x，得 ：(－) +(x) =， ⑶
(1)－(2) + ⑶ 化简得：(x) =．
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略．
二、寻觅特殊函数模型问题
1．指数函数模型
例6 设 定义于实数集R上，当x＞0时，＞1 ，且对于任意实数x、y ，有(x + y) =·，同时(1) = 2，解不等式(3x－x)＞4．
联想：因为a= a·a(a＞0，a≠1)，因而猜测它的模型函数为= a(a＞0，a≠1)(由(1) = 2，还可以猜想= 2)．
思路分析：由==·= 4，需解不等式化为(3x－x)＞．这样，证明函数的(由= 2，只证明单调递加)成了解题的突破口．
解：由 (x + y) =(x) ·(y) 中取x = y = 0 ，得(0) =(0)，
若(0) = 0，令x＞0 ，y = 0 ，则 (x) = 0，与(x)＞1 矛盾．∴ (0)≠ 0，即有(0) = 1 ．
当x＞0 时 ，(x)＞1＞0 ，当x＜0 时 ，－x＞0，(－x)＞1＞0 ，
而(x) ·(－x) =(0) = 1，
∴ (x) =＞0 ．
又当x = 0 时，(0) = 1＞0 ，∴x∈R ，(x)＞0 ．
设 －∞＜x＜x＜+∞ ，则x－x＞0 ，( x－x)＞1 ．
∴ ( x) =[ x+ ( x－x)] =(x)( x－x)＞( x) ．
∴ y =(x) 在R 上为增函数
又∵(1) = 2，∴(3x－x)＞(1) ·(1) =(1 + 1) =(2)，由(x)的单调递加性质可得：
3x－x＞2，解得1＜x＜2．
2．对数函数模型
例7 已知函数满足：⑴() = 1；⑵函数的值域是[－1，1]；⑶在其定义域上单调递减；⑷＋=(x·y) 对于任意正实数x、y 都成立．解不等式·≤．
联想：因为log(x·y) = logx＋logy，而log= 1，y = logx在其定义域[－1，1]内为减函数，所
以猜测它的模型函数为= logx且的模型函数为= ()．
思路分析：由条件⑵、⑶知，的反函数存在且在定义域[－1，1]上递减，由⑴知=．剩下的只需由的模型函数性质和运算法则去证明·=，问题就能解决了．
解：由已知条件⑵、⑶知，(x)的反函数存在，且(1) =，又在定义域[－1，1]上单调递减．
设y=(x)，y=(x)，则有x=(y)，x=( y) ，
∴x+ x=(y) +( y) =(yy)，即有yy=(x+ x)．
∴·=，
于是，原不等式等价于：
x = 0．
故原不等式的解集为{0}．
解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路．
3．幂函数模型
例8 已知函数对任意实数x、y都有=·，且=1，=9，当0≤x＜1时，0≤＜1时．
⑴判断的奇偶性；
⑵判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明；
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