c
c
∥∥b a b
〔一〕直线与直线平行的证明
3) 利用空间平行线的传递性〔即公理4〕：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
6) 利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
a
b
α
β
a b
a =⋂⊂βαβ
α∥b
a ∥⇒
b a b a ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβα β
α⊥⊥b a b
a ∥⇒α
a
b
〔二〕直线与平面平行的证明
高中数学教案1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
〔三〕平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点
α
αββ////∩⊂⊂b a P b a b a =α
β//⇒α
β
b
a
P
β
α
a
β
αα
∥
⊂a β
∥a ⇒α
b
a
b
∥a b a αα⊂⊄α
∥a ⇒
二、“垂直关系〞常见证明方法
〔一〕直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共〔异〕面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质：
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5) 利用常用结论：
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。 c
a b a ⊥∥c
b ⊥
⇒
l
b l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂
⊥βαβαβ
αb
a ⊥
⇒ b
α
α
⊥⊂b a a
b ⊥⇒α
a
b
α
α
∥b a ⊥b
a ⊥⇒
α
β
⊂⊥a a β
α⊥
⇒α
β
α⊥a ∥β⊥⇒
a 〔二〕直线与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂
直于此平面。
3) 利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
4) 利用平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5) 利用常用结论：
①
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一
个平面。
〔三〕平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角〔即平面角
是直角的二面角〕，就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
β
α⊥⇒l
a a l ⊥⊂=⋂⊥α
βαβ
αβ
α
a
l
α⊥b b
a ∥α⊥⇒a b
a l αA α⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l
b l a l A b a b a ⊥⊥=⊂⊂ ααa
α
β
发布评论