反 函 数
——课堂教学设计
一、[教材依据]
全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]
本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，
培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]
1、知识与技能目标：
（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标：
通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。
3、情感、态度、价值观目标：
培养学生良好的思维习惯，使之能在独立思考的基础上积极参与数学问题的讨论，并从交流中获益。
四、[教学重点]
1、反函数的概念 2、反函数的求法
五、[教学难点]
反函数的概念
六、[教具准备]
七、[教学过程]
（一）、新课引入：
由函数中解出 ，而式子是函数吗？为什么？谁是谁的函数？
[设计说明]：从学生熟悉的具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度认识反函数的特征，揭示将要学习的反函数的本质。
（二）、新课讨论：
1、反函数的定义：见课本第67页。
[师]：同学们对反函数的概念有了初步的了解，谁来分析一下反函数的定义着重强调了哪几点？（留出点时间让学生思考）
抽生回答后，教师补充说明。
反函数的定义过程可概括为：
从 中 对于任意的，由
反解出 能确定唯一的与之对应
与互换
[师]：简而言之：反函数就是以原函数的值域为定义域，逆法则为法则，定义域为值域的函数。其中是一个完整的符号，不是或的负一次方，是为了能体现与的联系与区别而设计的一个法则符号。
2、反函数存在的条件：
在本章第一节“函数”部分给出了以下3个对应，并且是3个从A到B的函数。
（打出幻灯片2）
观察与思考：这三个函数有反函数吗？为什么？
对应法则：乘2 对应法则：求平方 对应法则：求倒数
B
B
A
A
B
高中数学教案A
1
2
3
请问：这三个函数有反函数吗？为什么？
（在图一中，B中的元素1，3，5在A中没有元素与之对应，所以没有反函数；在图二中，B中的元素1与A中的两个元素1和—1对应，故也没有反函数；在图3中，B中的每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应，故存在反函数）
我们知道，函数可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但不能是“一对多”。“多对一”（如图二）没有反函数。“一对一”的时候，如图一，B中存在多余元素，它没有反函数；如图三，B中的每一个元素在A中都有唯一元素与之对应，而A中的每一个元素在B中都有唯一元素与它对应，我们把这种对应称作一一对应。一一对应存在反函数，于是我们得到结论： （
打出幻灯片3）
只有一一对应构成的函数才有反函数；一般地，单调函数都有反函数。
例1：判断下列函数是否有反函数？请说明理由。
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
解：（1）、取，则由=0得出=0，=1，即一个值有两个与之对应，因此不存在反函数。
（2）、取，则，所以，因此不存在反函数。
（3）、因为对称轴为，它在（1，+）上是增函数，所以存在反函数。
（4）、取，由得出，，所以不存在反函数。
点拔：要说明一个函数没有反函数，只需举出一个反例即可。
3、互为反函数的两个函数之间的关系： （打出幻灯片4）
请同学们观察下图，你能用对应关系 “”与“”分别表示元素之间的关系吗？
在图中、①、， 则
②、， 则
③、， 则
④、， 则
[师]：请同学们观察上面的式子，能总结出一般性的结论吗？
（注：下节课我们再研究这个结论的应用）
[师]：请同学们思考：函数 与反函数 的定义域、值域分别有何联系？
由上图知：的定义域为{1，2，3，4 }，值域为{} ，它的反函数的定义域为{} ，值域为{}
（打出幻灯片5）
互为反函数的两函数间的关系：
函 数 | 定 义 域 | 值 域 | 对 应 关 系 |
A | C | ||
C | A | ||
互 反 | 互 换 | 互 逆 | |
4、反函数的求法： （打出幻灯片6）
根据反函数的定义，求反函数的步骤一般分三步：
（1）、反解：将 看成关于的方程，反解出；如果求出的不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个。
（2）、交换：交换 x, y 得出：
（3）、写反函数的定义域：反函数的定义域必须由原函数的值域来决定。
请同学们自学课本第68页例1，然后教师提问：（3）小题中式子有意义的条件，为什么书上在它的后面又添了限制条件 呢？（因为反函数的定义域应由原函数的值域来决定）
最后教师以（4小题）为例，板书解题步骤及格式。
练习：课本第70页的练习1、2、3、4（抽4个学生上台板演，其他同学只做4题）。
[设计说明]： ①、将反函数概念的复习巧妙地穿插在探索练习中，安排很自然，不落俗套。 ②、新课改强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验。在上面的教
学过程中，教师不是将“反函数存在的条件”和“反函数与原函数的关系”直接告诉学生，而是给了学生自主学习的空间，由课本前面的例题加深对反函数定义的理解，引导学生自主探索，小组交流，集体讲解，循序渐进地得出结论。
（三）、典例解析：
（打出幻灯片7）
例2、求下列函数的反函数：
①、 ②、
③、 ④、
③分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合写成一个函数，分段函数的反函数也是分段函数）
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