负数的认识和1的意义
人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量.比如，在记帐时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食.为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示.于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负.可见正负数是生产实践中产生的.
据史料记载，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则.人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算.比如,356摆成||| ,3056摆成等等.这些小竹棍叫做“算筹”算筹也可以用骨头和象牙来制作.
我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献.刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之.”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们.
刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红的小棍摆出的数表示正数，用黑的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数.
我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正
负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之.”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”,“无”就是“零”.
用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加.零减正数得负数，零减负数得正数.异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加.零加正数等于正数，零加负数等于负数.”
这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致!负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一.
用不同颜的数表示正负数的习惯，一直保留到现在.现在一般用红表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，表明支出大于收入，财政上亏了钱.
负数是正数的相反数.在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量.夏天武汉气温高达42°C，你会想到武汉的确象火炉，冬天哈尔滨气温-32°C一个负号让你感到北方冬天的寒冷.
在现今的中小学教材中，负数的引入，是通过算术运算的方法引入的：只需以一个较小的数减去一个较大的数，便可以得到一个负数.这种引入方法可以在某种特殊的问题情景中给出负数的直观理解.而在
古代数学中，负数常常是在代数方程的求解过程中产生的.对古代巴比伦的代数研究发现，巴比伦人在解方程中没有提出负数根的概念，即不用或未能发现负数根的概念.3世纪的希腊学者丢番图的著作中，也只给出了方程的正根.然而，在中国的传统数学中，已较早形成负数和相关的运算法则.
除《九章算术》定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘（公元206年）、宋代扬辉（1261年）也论及了正负数加减法则，都与九章算术所说的完全一致.特别值得一提的是，元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了关于正负数的乘除法则.他在算法启蒙中
负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多.在印度，数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根.而在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数.直到十七世纪荷兰人日拉尔（1629年）才首先认识和使用负数解决几何问题.
与中国古代数学家不同，西方数学家更多的是研究负数存在的合理性.16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数.帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说.帕斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数，他说（-1）：1=1：（-1），那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢?直到1712年，连莱布尼兹也承认这种说法合理.英国数学家瓦里承认负数，同时认为负数小于零而大于无穷大（1655年）.他对此解释到：因为a＞0时，英国著名代数学家德·摩根在1831年仍认为负数是虚构的.他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁.问何时父亲年龄将是儿子的二倍?”他列方程5
6+x=2（29+x），并解得x=-2.他称此解是荒唐的.当然，欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了.随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑
上的合理性才真正建立.
自然数
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同.
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用.实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的.它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍.如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”.  2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”,“DC”表示“600”.一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如“IV”表示“4”,“XL”表示“40”,“VD”表示“495”.
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍.
其他国家和地区的人民，则是普遍认同十位进制的记数符号，即1、2、3、4、5、6、7、8、9，遇到“零”就用黑点“·”表示，比如“6708”，就可以表示为“67·8”.后来这个表示“零”的“·”，逐渐变成了“0”.
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”.其实在公元5世纪时,“0”已经传入罗马.但罗马教皇凶残而且守旧.他不允许任何使用“0”.有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握笔写字.
现在世界通用的数符号1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字.实际上它们是古代印度人最早使用的.后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字.
附：后来人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的.如果分配猎获物时,5个人分4件东西，每个人人该得多少呢?于是分数就产生了.自然数、分数和零，通称为算术数.自然数也称为正整数.
荒谬的意思接着人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退，为了表示这样的量，又产生了负数.正整数、负整数和零，统称为整数.如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数.公元前2500年，毕达哥拉斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它，这个新数的出现使毕达哥拉斯感到震惊，紧接着人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个，人们就把这些数称作无理数.有理数和无理数一起统称为实数.但在解
方程的时候常常需要开平方，如果被开方数负数，这道题还有解吗?如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁.于是数学家们就规定用符号“i”表示“-1”的平方根，即，虚数就这样诞生了.
数的概念发展到虚数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了.可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念.所谓四元数，就是由一个标量（实数）和一个向量（其中x、y、z为实数）组成的数.四元数在数论、论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用.与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究. 到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大.
公元3世纪，也就是1600多年前，我国伟大的数学家刘徽就提出了小数．
最初，人们表示小数只是用文字，直到13世纪，才有人用低一格的表示方法表示小数，如8．23记做, 左边的数表示整数部分，右下方的数表示小数部分．
古代，还有人记小数是将小数部分的各个数字用圆圈圈起来，例如：1．5记做1⑤，这么一圈，就把整数部分和小数部分分开了．这种记法后来传到了中亚和欧洲．
公元1427年，中亚数学家阿尔?卡西又创造了新的小数记法，他是用将整数部分与小数部分分开的方法记小数．如3．14记做3 14．
到了16世纪，欧洲人才开始注意的小数的应用．在欧洲，当时有人这样记小数，如：3．1415记做3◎1①4②1③5④．◎可以看作整数部分与小数部分的分界标志，圈里的数字表示的是数位的顺序，这种记法很有趣，但是很麻烦．
直到公元1592年，瑞士的数学家布尔基对小数的表示方法作了较大的改进，他用一个小圆圈将整数部分与小数部分分割开，例如：5.24……数中的小圆圈实际起到了小数点的作用．
又过了一段时间，德国的数学家克拉维斯又用小黑点代替了小圆圈．于是，小数的写法就成了我们现在的表示方法．
但是，用小数点表示，在不同的国家也有不同的方法．现在，小数点的写法有两种：一种是用“,”；一种是用小黑点“．”．
在德国、法国等国家常用“,”，写出的小数如3,42、7,51……，而英国和北欧一些国家则和我国一样，用“．”表示小数点，如1.3、4.5……