高三数学模拟试题（含答案）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
2．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝ ．
3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ．
4．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是 ．
5．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．
①给19岁的我自己若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为 ．
8．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为 ．
9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为 ．
10．记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝ ．
11．设函数f（x）＝x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是 ．
12．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为 ．
14．设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C人人让座打一字：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在三角形ABC圣诞节活动游戏中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，tan（A﹣B），角C为钝角，b＝5．
（1）求sinB的值；
（2）求边c的长．
16．如图，四棱锥V﹣摆渡自己阅读答案ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．
（1）求证：VA∥平面BDE；
（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．
17．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？
19．设首项为1的正项数列{an}的前书画展方案n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
20．已知函数f（x）＝（x﹣x1）（吸管英文x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．
（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，求函数f（x）的减区间；
（2）求证：方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；
（3）若方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较，与α，β的大小，并说明理由．
本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]
21．试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．
[选修4-4：极坐标与参数方程]
22．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．
（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l被圆截得的弦长．
【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．
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