函数的概念
知识图谱
函数的概念与表示
知识精讲
一.函数的定义
1.传统定义：
在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2.现代定义：
设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任何一个数x ，按照某个确定的法则f ，都有唯一确定的数y
与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作
()y f x =，x A ∈.
其中x 叫做自变量，x 的取值集合A 叫做这个函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){,}y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．
二.区间的概念及表示
设 , a b ∈R ，且a b <.则 , a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”，用,+∞-∞作为区间的一端或两端
的区间成为无穷区间.
含义名称符号图形表示
{|}
x a x b
≤≤闭区间[,]
a b
{|}
x a x b
<<；开区间(,)
a b
{|}
x a x b
≤<；左闭右开区间[,)
a b
{|}
x a x b
<≤左开右闭区间(,]
a b
{|}
x x a≥左闭右开区间[,)
a+∞
{|}
x x a>开区间(,)
a+∞
{|}
x x a≤左开右闭区间(,]a
-∞
{|}
x x a<；开区间(,)a
-∞
R开区间(,)
-∞+∞数轴上所有点
三.映射与函数
1.映射的定义
设,A B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作()
f x.于是
()
y f x
=，
x称作y的原象.映射f也可记为：
: A B
f→，
()
x f x
→.
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象()
f x构成的集合叫做映射f的值域，通常记
作()
f A.
2.一一映射
如果映射f是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
3.函数与映射的关系
（1）映射中的集合可以是数集，也可以是点集或其他集合.
例如映射可以是人到物品或者人到成绩的对应关系，函数只能是数字之间的对应关系.映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.
（2）在映射:f A B
→中：
①集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；
②不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的象，且集合B中的
象在A中对应的原象不唯一.若映射是一个函数，则要求集合B中的每一个元素都有原象；
（3）映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”和“多对多”.
四.函数的表示方法
1.列表法：
列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．
优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．2.图象法：
把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．
3.解析法：
用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
五.复合函数
1.定义
如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即(),()y f u u g x ==，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做复合函
数，u 叫做中间变量．如函数2
1
(0,1)x y a a a +=>≠且可以看成是由指数函数(0,1)u y a a a =>≠且和二次函数
21u x =+复合而成的．
三点剖析
一.注意事项
1.函数()y f x =，f 代表此函数的对应法则，也可用其他字母表示，如“()y g x =”.
2.符号∞不是一个数，而是一个变化趋势.
二.方法点拨
1.相同函数的判定
函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域()f A 和对应法则f .当函数的定义域A 及对应法则f 确定之后，函数的值域()f A 也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同
时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数.
另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的字母没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.
函数及区间的概念
例题1、下列四种说法中，不正确的是（）
A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
例题2、用区间表示下列集合：1{|}x x >-=__________．{5|2}x x <≤=__________．
3{|}x x ≤-=__________．4{|2}x x ≤≤=__________．3{|0x x -≤<，或24}x ≤<__________．
例题3、如图，可表示函数y ＝f （x ）的图象的可能是（）
A.  B.  C.  D.
随练1、下列四个图象中，不是函数图象的是（）
A.
B.
C.
D.
判断同一函数
例题1、下列函数中哪个与函数y x =相等（
）
A.2
(y x =  B.33
y x
=  C.2
y x
=  D.2
x y x
=
例题2、下列各组函数表示同一函数的是（）
A.293x y x -=-与y =x +3
B.21y x =-与y =x -1
C.y =x 0（x ≠0）与y =1（x ≠0）
D.y =2x +1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z
例题3、
下列各组函数中，表示同一组函数的是（）
A.f （x ）＝x －2，21
()31
x g x x -=--  B.f （x ）＝x ，2
()(g x x =C.2()f x x =g （x ）＝x    D.f （t ）＝|t －1|，1,1
()1,1
x x g x x x -≥⎧=⎨
-+<⎩
随练1、
下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（
）
A.()-1f x x =与()2
21x x x g -+=  B.()f x x =与()2
g x x x
=
C.()f x x =与()33g x x =
D.()24
2
x x x f --=
与()2g x x =+随练2、
下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A.f （x ）=2x ，g （x ）=x ）2
B.f （x ）=（x -1）0，g （x ）=1
C.f （x ）=21
1
x x --，g （x ）=x +1
D.f （x ）2x ，g （t ）=|t |
映射与函数
例题1、设A 到B 的函数2:(1)f x y x →=-，若集合{0,1,2}A =，则集合B 不可能是（）
A.{0,1}
B.[0,1,2]
C.{0,1,2}-
D.{0,1,1}-例题2、
给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（
）
A.只有①②
B.只有①④
C.只有①③④
D.只有③④
例题3、下列从集合A 到集合B 的对应中，是映射的是（
）
A.A ＝{0，3}，B ＝{0，1}；f ：x→y ＝2x
B.A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}；f ：x→y ＝|x|＋1
C.A ＝R ，B ＝{y|y ＞0}；f ：14
x y x →=D.A ＝R ，B ＝R ；f ：x→y ＝－x ＋1随练1、已知集合A 到B 的映射31f x y x →=+：，若B 中的一个元素为7，则对应的A 中原像为（
）
A.22
B.17
C.7
D.2
函数的表示方法
例题1、如果函数f x g x （），（）
分别由下表给出x 1
23
f （x ）132x 123
g （x ）3
2函数的表示法
1
则1g （）
的值为，[]1f g （）的值为
．