[学问链接]
1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需到两个点即可．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)．
3．函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．
[预习导引]
1．表示函数的方法
(1)把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的方法，就是表示函数的方法；
(2)表示函数的三种主要方法分别是：解析法、图象法和列表法．
2．解析法
(1)解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式，也叫作解析表达式或函数关系式．
(2)解析法就是用解析式来表示函数的方法．
3．图象法
函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.
要点一 待定系数法求函数解析式
例1 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；
(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．
解 (1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)，
由f(3)＝＝－6，解得k＝－18，
故f(x)＝－.
(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，
∴
解得∴f(x)＝2x－1.
∴f(3)＝2×3－1＝5.
规律方法 待定系数法求函数解析式的步骤如下：
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．
(4)将所求待定系数的值代回原式．
跟踪演练1 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式．
解 设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得故f(x)＝x2＋1.
要点二 换元法(或配凑法)求函数解析式
例2 求下列函数的解析式：
(1)已知f＝＋，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
解 (1)方法一 (换元法)令t＝＝＋1，有x＝.
则t≠1.把x＝代入f＝＋，得
f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，(x≠1)
方法二 (配凑法)∵f＝＋
＝2－＝2－＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
又∵＝＋1≠1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)方法一 (换元法)令＋1＝t(t≥1)，
则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二 (配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1.
又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
规律方法 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可接受换元法．所谓换元法，即将“＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要留意换元前后自变量取值范围的变化状况．
2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观看与分析，将右端的式子“x＋2”变成含有“＋1”的表达式．这种解法对变形力量、观看力量有较高的要求．
跟踪演练2 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.
答案 x2－4x＋3
解析 方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，
可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二 (配凑法)由于x2－2x
＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3
＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
即f(x)＝x2－4x＋3.
要点三 作函数的图象
例3 作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
解 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．
(2)由于0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示．
规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一孤立的点，画图时要留意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特殊要分清区间端点是实心点还是空心点．
跟踪演练3 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．
图象如图(2)．
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x | 1≤x＜2 | 2 | 2＜x≤4 |
f(x) | 1 | 2 | 3 |
A.1 B．2
C．3 D．不存在
答案 C
解析 由表可知f(3)＝3.
2．y与函数的表示法x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
答案 C
解析 设y＝，由1＝得，k＝2.
因此，y关于x的函数关系式为y＝.
3．若f(x＋2)＝2x＋3，f(3)的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
答案 C
解析 令x＋2＝3，则x＝1，∴f(3)＝2×1＋3＝5.
4．假如二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
答案 D
解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排解A、B；又图象过点(0,0)，可排解C；D项符合题意．
5．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________．
答案 2
解析 由函数f(x)图象，知f(1)＝2，f(3)＝1，
∴f＝f(1)＝2.
1.函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
一、基础达标
1．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
答案 B
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴，∴f(x)＝3x－2.
2．小明骑车上学，开头时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上大事吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 距学校的距离应渐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
3．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
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