第四讲    函数及其表示
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目标
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
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疑问
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建议
【相关知识点回顾】
【预学能掌握的内容】1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．
(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．
(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
3.分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
夯实双基:
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
(1)f(x)＝＋是一个函数．
(2)A＝R，B＝R，f：x→y＝，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)
(3)函数f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．
(4)y＝2x(x∈{1，2})的值域是2，4.
(5)y＝lnx2与y＝2lnx表示同一函数．
(6)f(x)＝则f(－x)＝
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)＝________．
3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
4．(2016·北京改编)设函数f(x)＝且f(－2)＝2，则f(f(－1))＝________．
【探究点一】函数与映射的概念
〖典例解析〗
例1.(1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？
①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4.
②A＝{x|x≥0}，函数的表示法B＝R，f：x→y，y2＝4x.
③A＝N，B＝Q，f：x→y＝.
④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．
(2)已知A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：
①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数f：A→A的个数是(  )
A．2        　    B．3
C．4          D．5
〖概括小结〗映射与函数的含义
(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余．
〖课堂检测〗　
(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是______．
(2)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是(  )
A．f：x→y＝x              B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x              D．f：x→y＝
例2.以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
(1)f1：y＝；f2：y＝1；f3：y＝x0.
(2)f1：y＝；f2：y＝()2；f3：y＝　
(3)f1：y＝       
判断两个函数是否相同的方法
(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．
(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
下列四组函数中，表示同一函数的是________．
①f(x)＝x－1与g(x)＝
②f(x)＝lgx2与g(x)＝2lgx
③f(x)＝x＋2，x∈R与g(x)＝x＋2，x∈Z
④f(u)＝与f(v)＝
⑤y＝f(x)与y＝f(x＋1)
【探究点二】函数的解析式
〖典例解析〗
例3.求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x2＋)＝x4＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．
〖概括小结〗函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
〖课堂检测〗(1)已知f(＋1)＝，求f(x)的解析式．
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，当－1≤x≤0时，求f(x)解析式．
(3)已知f(x)＋2f()＝x(x≠0)，求f(x)．
【探究点三】分段函数与复合函数
〖典例解析〗例4.(1)已知函数f(x)＝g(x)＝x＋1，则：①g[f(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．
(2)(2017·邯郸摸底)已知函数f(x)＝则使得f(x)≤5成立的x的取值范围是________．
〖概括小结〗分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．
〖课堂检测〗(1)(2015·陕西改编)设f(x)＝则f(f(－2))＝________．
(2)已知f(x)＝若f(f(－1))＝，则a＝(  )
A.        　    B.
C．1      D．2
【层次一】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝2f()f()，f(π)＝－1，则f(0)＝________．
【层次二】已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，则函数f(x)的解析式为________．
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素，分段函数，函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)，一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面，也要教给学生把握复习的尺度，教学大纲是高考命题的依据，而教材是贯彻大纲的载体，研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．
【思维导图】（学生自我绘制）