函数的概念及其表示——函数的概念
【教学目标】
1．知识与技能：理解函数的概念，了解函数的三要素。
2．过程与方法：通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高。
3．情感、态度与价值观：通过函数定义由变量观点向集合观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习。
【教学重难点】
函数的表示法教学重点：是理解函数的概念；
教学难点：是对函数抽象符号的认识与使用。
【教学方法】
激趣法 探究法 拓展法 讨论法 自主学习法
【教学准备】
多媒体课件
【教学时间】
1课时
【教学过程】
一、复习与引入。
今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不象前面学习的集合一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？
（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）
学生举出如等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生。
提问1．是函数吗？
提问2．与是同一个函数吗？
（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做．）
教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．
二、新课。
现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始提问）
提问3．观察图中的3个对应，你看出它们有什么共同特点？
学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现三个对应的共同点。（板书）函数
（一）函数的概念
1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作
，。
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
问题4：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？
引导学生发现，函数是特殊的对应，二者的本质相同。
2．本质：函数是特殊的对应。（板书）
然后让学生试回答刚才关于是不是函数的问题，要求从集合的角度解释。
此时学生可以清楚的看到满足集合与对应观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然。
教师继续把问题引向深入，提出在集合与对应的观点下如何解释是个函数？
从集合角度看可以是其中定义域是，值域是．
从刚才的分析可以看出，集合观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质。这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从集合角度再来认识函数。
3．函数的三要素及其作用（板书）
函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域。值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它。
例1：以下关系式表示函数吗？为什么？
（1）；            （2）．
解：（1）由有意义得，解得．由于定义域是空集，故它不能表示函数．
（2）由有意义得，解得．定义域为，值域为．
由以上两题可以看出三要素的作用
（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）
例2：下列各函数中，哪一个函数与是同一个函数．
（1）；        （2）    （3）；    （4）．
解：先认清，它是（定义域）到（值域）的映射，其中．再看（1）定义域为且，是不同的；（2）定义域为，是不同的；（4），法则是不同的；而（3）定义域是，值域是，法则是乘2减1，与完全相同．
求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用。
（2）判断两个函数是否相同。（板书）
下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号说起。
4．对函数符号的理解（板书）
首先让学生知道与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体，下面我们举例说明。
例3：已知函数试求（板书）
分析：首先让学生认清的含义，要求学生能从变量观点和集合观点解释，再进行计算。
含义：当自变量取3时，对应的函数值即；
计算之后，要求学生了解与的区别，是常量，而是变量，只是中一个特殊值。
最后指出在刚才的题目中是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究。
三、小结
1．函数的定义
2．对函数三要素的认识
3．对函数符号的认识
四、作业：略
【板书设计】
1、函数的定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，。
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数三要素及其作用：
函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域。值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它。
（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）
（2）判断两个函数是否相同。（板书）
3、对函数符号的理解
与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体。
【教学反思】
教师在教学过程中应更新教学理念，改善教学方法
教学本来就是一种认识新事物的过程，教师要根据认识新事物的规律来引导学生在已有的知识的基础上能够做好与新知识的衔接，在头脑中建立起二者之间的相互关系。教学方法的改善要思考到学生的实际状况，不能只按照教师自己的逻辑思考进行“填鸭式”的教学。教师要讲教材中的一些定义和定理引导学生深刻理解其内涵，从问题的表面去逐步挖掘其本质性的东西，要使学生逐步构成抽象的思维，能够在解决一些经常见到的数学问题的同时也要尝试着解决一些抽象的数学难题。在遇到一些难以解决的问题时，要引导学生变换思维方式，探索解决问题的新的方法和手段。
教师在课堂教学中应将数学思想方法作为教学的重点
高中数学的学习更多的是数学思维方法的学习。学生在学习中要逐步掌握一些常见的数学思维方法，比如数学建模。对于数学的学习，不在于做了多少的题，而是在做每一种类型的题目的时候能够领悟其中用到的数学思维方法。一旦掌握了解题的思维方法，至于计算，就是一些基础技能的考查了。教师要引导学生在掌握数学思维方法的基础上，在解题过程中能够透过分析题目，想到用哪一种思维方法来解决问题，或者透过适当地转换形式，以适用某个数学思维方法。综上所述，在高中数学的教学过程中，教师要不断地进行教学总结，要掌握班上学生的数学基础状况，培养学生集中思维的同时要重视发散思维潜力的培养，加强自身的业务潜力，根据学生的反馈信息改善教学方法，将对数学思想方法的教学作为重点。教师要不断地在实践当中进行探索和发现，总结教学的经验，并进行及时的改善，只有这样才能不断改善高中数学教学，解决学生的数学思维障碍，这对于高中数学的教学具有深远的重大好处。