§2.1 函数及其表示
要点梳理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
2．映射的概念
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
3． 函数解析式的求法
求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．
4． 常见函数定义域的求法
(1)分母≠0.
(2)偶次方根的被开方式≥0.
(3) x0中，x0
(4)对数的真数>0
(5)y＝tan x的定义域为.
(6)复合函数定义域
题型分类 深度解析
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为______________．
（2）已知的定义域为[1,3]，求f(2x＋1)的定义域；
（3）已知的定义域为，求的定义及的定义域．
练习 (1)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．
(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________．
（3）已知f(x2)的定义域为，则f(2x-1)的定义域是__________．
题型二 分段函数
函数的表示法例2 (1)设f(x)＝,则f(5)的值为_______．
(2)已知a0，函数f(x)＝，若f(1-a)＝f(1+a)，则a的值为_______．
练习 （1）设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为 。
（2）设函数f(x)＝，若f(f(a))2，则a的取值范围为 。
题型三 函数解析式的求法
1、待定系数法：例 设是一次函数，且，求．
2、配凑法：例 已知 ，求 的解析式．
3、换元法：例 ①已知f (x+2)＝x2＋5x＋6，求f (x) ②已知，求．
4、代入法：例 已知：函数的图象关于点对称，求的解析式．
5、构造方程组法：例 设求．
6、赋值法：例 已知：f(0)=1,对于任意实数x,y，等式恒成立，求．
课后练习
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为 ( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]
2． 设函数f(x)＝则f(f(3))等于 ( )
A. B．3 C. D.
3．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于 ( )
A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7
4.函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5.函数的定义域为，则函数的定义域是
A． B． C． D．
6.已知函数定义域是，则的定义域（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
2．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
4、设f(n)＝, 则f(8)的值为_______．
5、已知f (x)是一次函数，且f [ f (x)]＝x＋2，则f (x)的解析式为 ．
三、解答题
1．已知f (x)= ，求f ()的解析式．
2．已知f (x)是二次函数，且f (x+1)＋f (x)=2x2＋4x＋2，求f (x)的解析式．
3．已知f (x+1)＝，求f (x)的解析式．
4.已知，求函数f (x)的解析式．
5．已知f (x)2 f (－x)＝x ，求函数f (x)的解析式．
6．设对任意数x，y均有， 求f（x）的解析式．
§2.1 函数及其表示答案
要点梳理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
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