第三章 函数
3.1 函数的概念及其表示
知识点一： 函数的概念
1.函数的有关概念
函数的定义
一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y=f(x),x∈A
定义域
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的值域
2.函数的三要素
  一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.
  因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它
们是同一个函数.
3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.
不等式
区间
数轴表示
a≤x≤b
[a,b]
 
a<x<b
(a,b)
 
a≤x<b
[a,b)
 
a<x≤b
(a,b]
 
x≥a
[a,+∞)
 
x>a
(a,+∞)
 
x≤b
(-∞,b]
 
x<b
(-∞,b)
 
  实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).
知识点二：函数的表示法
1.函数的三种表示法
表示法
定义
特点
解析法
用解析式表示两个变量之间的对应关系
简单、全面,易求函数值
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
无需计算,查表可得函数值
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
形象、直观,便于研究函数的性质
2.分段函数
  已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.
【思考】
1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?
2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?
3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y
是否都有唯一的自变量x与之对应?
4.如何确定分段函数的定义域和值域?
【解析】
1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.
2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.
3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x与之对应。如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.
4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的
并集.
3.1.1 函数的概念
基础练
一　函数的概念
1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是    (  )
A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温
B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)
C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号
D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税
2.下列四组函数中,表示同一个函数的是(  )
A.y=|x|与y=
B.y=与s=()2
C.y=2t+1与y=2u+1
D.y=1与y=x0
3.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有    (  )
A.①②③④    B.①②③   
C.②③        D.②④
二　函数的定义域
4.函数f(x)=的定义域为    (  )
A.[1,+∞)          B.[1,2)
C.[1,2)∪(2,+∞)    D.(1,2)∪(2,+∞)
5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是    . 
6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=的定义域为        . 
三　函数值及函数的值域
7.已知集合P={x|y=},集合Q={y|y=},则    (  )
A.P=Q    B.PQ   
C.QP    D.P∩Q=
8.函数y=的值域为    　. 
9.已知函数f(x)=,则f(x)的值域为    . 
10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=    . 
11.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2), f ;
(2)若f(x)=5,求函数的表示法x的值.
3.1.2 函数的表示法
基础练
一　函数的表示法及其应用
1.函数y=的图象大致是    (  )
A      B    C　 　D
2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t,离开家的距离为d,则下面图象中,能正确表示d与t的关系的是    (  )
A    B        C    D
3.已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,则g(f(3))的值为    . 
x
1
2
3
y=f(x)
2
3
2
           
二　函数解析式的求法
5.已知函数f(x+2)=x2+6x+8,则函数f(x)的解析式为(  )
A.f(x)=x2+2x    B.f(x)=x2+6x+8
C.f(x)=x2+4x    D.f(x)=x2+8x+6
6.函数f(x)满足f(1-2x)=-,则f(2)=    (  )
A.2    B.-2    C.    D.-
7.已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=    . 
8.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=    . 
9.(1)已知函数g()=2x+1,求g(x)的解析式;
(2)已知f(x)为二次函数,且f(0)=2, f(2)=f(-1)=0,求f(x)的解析式.
三　分段函数问题
10.已知函数f(x)=则f(f(-3))=    (  )
A.    B.1    C.2    D.
11.已知f(x)=若f(x)=3,则x的值是    (  )
A.1          B.1或
C.1,或±    D.
12.函数f(x)=x+的图象是    (  )
A  　B    C  　D
13.(2022山西大同期中)已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围.