赵连杰（山东省无棣县第三初级中学　２５１９００）赵连杰高级教师，无棣县
名师工作室主持人，滨州市学科
带头人，滨州市教学能手，滨州
市名师，滨州市教书育人楷模，
滨州市优质课一等奖获得者，近
百篇论文发表。
对一列数或式进行观察，归纳，猜想，验证，
出一般规律，进而列出通用的数或式，称之为
数式规律探究，它体现了“特殊到一般”的数学
思想方法，解此类问题，可考虑用以下两种方
法：
方法１　观察法　
观察法就是先观察已知数式的基本结构，
然后通过横比（比较同一式子中不同部分的数量关
系）或纵比（比较不同式子间相同位置的数量关系）
出各部分的联系、特征，进而得到通用的式
子，达到解决问题的目的．
例１　观察下列一组数：－２
３，４
５
，－６
７
，
８９，－１０
１１
，…，它们是按一定规律排列的，那么
这一组数的第ｎ个数是．
解　
序号①②③④⑤…
分子２　４　６　８　１０…
分母３　５　７　９　１１…
  通过观察易发现分子为相邻偶数（偶数用２ｎ表示）；分母为相邻奇数，并且最小奇数是３（最小奇数是３时，用（２ｎ＋１）表示；最小奇数是１时，用（２ｎ－１）表示），序号为奇数的数为负数，序号为偶数的数为偶数，故答案为
（－１）ｎ×２ｎ
２ｎ＋１
．
方法总结　分数（式）型的数字规律题经常要从“分子特点”、“分母特点”、“分子与分母间的联系”这些角
度进行分析和归纳，分别出各自的相同点和不同点，不同的地方要和序号结合考虑．当负号出现交替时，用（－１）ｎ或（－１）ｎ＋１来调节．
例２　观察按下列顺序排列的等式：
９×０＋１＝１，
９×１＋２＝１１，
９×２＋３＝２１，
９×３＋４＝３１，
…，
猜想：第ｎ个等式（ｎ为正整数）用含ｎ的式子可以表示成．
解　认真观察各式：
序号左边右边
①９×０＋１　１
②９×１＋２　１１
③９×２＋３　２１
④９×３＋４　３１
…
  观察不难发现左边第一个数字均为９，第二个数字比序号小１，第三个数字与序号相同，而右边数字的个位数字都是１，十位数字比序号小１．据此易得出答案是：
９×（ｎ－１）＋ｎ＝１０（ｎ－１）＋１．
方法总结　等式型的数字规律题经常要从左边特点、右边特点、左边与右边间的联系等这些角度进行分析和归纳，分别出各自的相同点和不同点，不同的地方要和序号结合考虑．方法２　函数法
例３　将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：
所剪次数１　２　３　４…ｎ
正三角形个数４　７　１０　１３…ａｎ
则ａ
ｎ＝（用含ｎ的代数式表示）．
·
１
２
·
２０２０年第１２期中考数学高分之路数理天地初中版
解　对结果数据做求差处理（相邻两数求差）
正三角形个数：４　７　１０　１３　…第一次求差：３　３　３　…
第一次求差结果相等（
当第一次求差结果相等时，规律符合一次函数），用一次函数表示ａｎ，设ａｎ＝
ｋｎ＋ｂ，代入（１，４）（表示第１个数是４），（２，７）（表示第２个数是７），得
４＝ｋ＋ｂ，７＝２ｋ＋ｂ，烅
烄
烆
可得
ａｎ＝
３ｎ＋１．例４　有一组数：１，２，５，１０，１７，２６，
…，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第１０１个数为
．
解　对这组数据做求差处理：原数：１　２　５　１０　１７　２６第一次求差：１　３　５　７　９第二次求差：２　２　２　２
第二次求差结果相等（
当第二次求差结果相等时，规律符合二次函数），用二次函数表示第ｎ个
数ａｎ，设ａｎ＝
ａｎ２
＋ｂｎ＋ｃ，代入（１，１）（表示第１个数是１，下同），（２，２），（３，５
），得１＝ａ＋ｂ＋ｃ，２＝４ａ＋２ｂ＋ｃ，５＝９ａ＋３ｂ＋ｃ，烅
烄
烆
可得ａｎ＝
ｎ２
－２ｎ＋２＝（ｎ－１）２
数学天地
＋１．所以当ｎ＝１０１时，ｙ＝１
０００１．方法总结　数学规律多数是函数的解析式，函数的解析式里常常包含着数学运算，所以，要求把变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答规律题的好途径．
注意事项及建议　
１．
一般地，常用字母ｎ为正整数，从１开始，寻规律时，结合序号考虑．
２．当“＋、－”符号交替出现时，用（－１）ｎ
或（－１
）ｎ＋１
来调节．３．
熟记常用数列的表达方式：（１）正整数：…，ｎ－１，ｎ，ｎ＋１，…；（２）奇数：…，２ｎ－３，２ｎ－１，２ｎ＋１，２ｎ＋３，
…；（３）偶数：…，２ｎ－２，２ｎ，２ｎ＋２，…；（４）１，４，９，１６，…，ｎ２；（５）１，３，６，１０，
…，ｎ（ｎ＋１
）２
；（６）１，３，７，１５，…，２ｎ
－１；
（７）１＋２＋３＋４＋…＋ｎ＝
ｎ（ｎ＋１
）２
；（８）１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１）＝ｎ２
；
（９）２＋４＋６＋…＋２ｎ＝ｎ（ｎ＋１
）；（１０）２，４，８，１６，３２，…，２ｎ；（１１）１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝
１
６
ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）．
综上可知，数式规律的题目，都会涉及到一个或几个变化的量，而规律，多数情况下，是指变量的变化规律，所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键，而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律常常包含着事物的序列号与变量的关系，解题时我们只要抓住这些特点问题就会迎刃而解．
练习
１．
如图，观察下列图案，它们都是由边长为１ｃｍ的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第１６个图案中的小正方形有
个
．
２．
已知下列等式：①１３＝１２
；②１３＋２３＝３２；③１３＋２３＋３３＝６２；④１３＋２３＋３３＋４３＝１
０２
；由此规律知，第⑤个等式是
．
答案１．１３６．  　
２．１３＋２３＋３３＋４３＋５３＝１
５２
．·
２２·数理天地初中版中考数学高分之路２０２０年第１２期