第37卷第24期
2007年12月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RY V o l.37　No.24　Decem.,2007　管理科学
许瑞丽,　徐泽水
(解放军理工大学理学院，南京　211101)
摘要:　对区间数相似性问题进行了探讨.定义了区间数相似度的概念，给出了度量区间数相似度的一个简洁公式，详细研究了它的一些优良性质，如：自反性、对称性和传递性等，并且研究了区间数相似度公式与区间数排序的可能度公式之间的关系，从而为区间数的实际应用奠定了理论基础.
关键词:　区间数；相似度；可能度
1　引言和估计方法
收稿日期:2005-10-20基金项目：中国博士后科学基金(20060390051)；国家自然科学基金(70571087)
  在现实生活中，由于受各种不确定的主、客观因素影响，人们所得到的数据信息经常以区间数形式来表达[1—4].近年来，关于区间数的排序理论与方法研究，已引起一些学者的关注，并取得了丰富的研究成果[4—13]，如：文献[4,9—13]对区间数排序的可能度公式进行了研究.然而，人们常常需要考虑不同来源的数据信息之间的相似性(或一致性)问题，因此，仅对区间数排序问题进行研究是远远不够的，还有必要对区间数之间的相似性问题进行探讨.目前，有关该类问题的研究成果尚不多见.文献[14—16]对模糊集的相似性进行了研究，文献[17]则探讨了区间模糊偏好关系的相似性.本文尝试对区间数相似性问题进行研究，定义了区间数相似度的概念，给出了度量区间数相似度的一个简洁公式，详细研究了它的优良性质，并探讨了区间数相似度公式与区间数排序的可能度公式之间的关系.
2　区间数相似度及其性质
记a =[a L ,a U ]={x |a L ≤x ≤a U }，则称a 为一个区间数.特别地，若a L =a U ，则a 退化为一个实数(注：本文所讨论的区间数不包含退化的情形).
定义1　设a =[a L ,a U ],b =[b L ,b U ]，则称a 和b 之间的相似程度为它们的相似度.下面给出度量区间数相似度的一个简洁公式:
定义2　设a =[a L ,a U ],b =[b L ,b U ]，且设q j (j =1,2,3,4)为a L ,a U ,b L ,b U 中第j 大的数，则可用下式对区间数a 和b 的相似度进行度量:
s a ,b =(q 2-q 3)[1-sgn(b L -a U )][1-sgn(a L -b U )]/4(q 1-q 4)-(q 2-q 3)|sg n(b L -a U )-sg n(a L -b U )|/2
(1)其中,s a ,b 表示a 和b 的相似度,sg n 为符号函数.为了方便起见，设l a =a U -a L ,l b =b U -b L ，则由公式(1)不难得出下列表达式:
S a,b
=
0,b U≤a L或a U≤b L
图1图2
a U-
b L
b U-a L
,a L<b L≤a U<b U
图3
l b
l a
,a L≤b L<b U≤a U
图4
b U-a L
a U-
b L
,b L<a L≤b U<a U
图5
l a
l b
,b L≤a L<a U≤b U
图6
因此，从几何意义上看,s a,b可表示为
|a∩b|
|a∪b|，其中,|a∩b|,|
a∪b|分别为上图中a
,
b相交部分和a,b相并部分的长度,“∩”和“∪”分别表示“交”和“并”运算.
基于定义2，可得下列结论:
定理1　固定区间数a，让区间数b从区间数a的左边起逐渐向右平移，则s a,b先逐渐增大，再保持不变，然后又逐渐减小.
证明　不失一般性，对于区间数a和b，假设l b≤l a.在区间数b从区间数a的左边起逐渐向右平移的过程中,a和b的位置可能有五种情况，分别如图7—如图11所示.
1)当b U≤a L时(见图7)，可知s a,b=0;
图7图8
图9图10
2数　学　的　实　践　与　认　识37卷
图11
2)当b L ≤a L <b U ≤a U
时(见图8),s a ,b =b U -a L a -b ，随着区间数b 的右移,b U -a L 逐渐增大而a U -b L 则逐渐减小，又因为b U -a L ,a U -b L 均为非负值，所以s a ,b 也逐渐增大;3)当a L <b L <b U ≤a U 时(见图9),s a ,b 等于
l b l a ，当区间数b 在a L 和a U 之间移动时,s a ,b 保持不变;4)当a L <b L <a U <b U
时(见图10),s a ,b =a U -b L b U -a L ，随着区间数b 的右移,a U -b L 非负且逐渐减小,b U -a L 非负且逐渐增大，所以s a ,b 又逐渐减小;5)当a U ≤b L 时(见图11),s a ,b =0.
设a =[a L ,a U ],b =[b L ,b U ],c =[c L ,c U ]，则由公式(1)易知下列定理成立:
定理2　s a ,b =1当且仅当a =b ，即a L =b L ,a U =b U
，此时称a 和b 完全相似.
定理3　1)(自反性):s a ,a =1;
2)(对称性):s a ,b =s b ,a ;
3)(传递性):s a ,b =1,s b ,c =1，则s a ,c =1，即：如果a 和b 完全相似,b 和c 完全相似，则a 和c 完全相似.
定理4　s a ,b =0当且仅当a U ≤b L 或b U ≤a L .
若令p j (j =1,2,3,4)为b L ,b U ,c L ,c U 中第j 大的数，则有下列性质:
buchi
定理5　若a L ≤p 4且a U ≥p 1，则s b ,c =s a ∩b ,a ∩c
.图12
证明　由于不管b 和c 的位置关系如何，只要它们都包含在a L ,a U 之间，即b  a ,c  a ，就有|a ∩b |=|b |,|a ∩c |=|c |，因此，根据已知条件(注：图12给出了定理5条件的几何表示)及s a ,b 的几何定义不难推知:
s a ∩b ,a ∩c =|(a ∩b )∩(a ∩c )||(a ∩b )∪(a ∩c )|=|b ∩c ||b ∪c |=s
b ,
c (2)
  定理6　若a L ≥max (b L ,c L )且a U ≤min(b U ,c U )，则s b ,c =s a ∪b ,a ∪c .
证明　由于不管b 和c 的位置关系如何，只要它们都包含a ，即a  b ,a  c ，就有|a ∪b |=|b |,|a ∪c |=|c |，因此，根据已知条件(注：图13给出了定理6条件的几何表示)及s a ,b 的几何定义不难推知:S a ∪b ,a ∪c =|(a ∪b )∩(a ∪c )||(a ∪b )∪(a ∪c )|=|b ∩c ||b ∪c |=S b ,c (3)3
24期许瑞丽，等：区间数相似度研究
图13
  文献[14]针对任意两向量T =(T 1,T 2,…,T n )和U =(U 1,U 2,…,U n )，定义了两种算子∧与∨，即取小算子和取大算子.具体表示为
T ∧U =(min(T 1,U 1),min(T 2,U 2),…,min(T n ,U n ))
(4)T ∨U =(max (T 1,U 1),max (T 2,U 2),…,max (T n ,U n ))
(5)  类似地，对于任意两个区间数a =[a L ,a U ],b =[b L ,b U ]，我们定义:
a ∧
b =[min(a L ,b L ),min(a U ,b U )]
(6)a ∨b =[max (a L ,b L ),max (a U ,b U )]
(7)  基于取小算子和取大算子，可得下列结论:
定理7　若a U ≥max (b U ,c U )且a L ≥max (b L ,c L )，则s b ,c =s a ∧
b ,a ∧
c .证明　由公式(6)可知:
a ∧
b =[min(a L ,b L ),min(a U ,b U )]=[b L ,b U ]=b
(8)a ∧c =[min(a L ,c L ),min(a U ,c U )]=[c L ,c U ]=c
(9)因此，有s b ,c =s a ∧b ,a ∧c .
定理8　若a L ≤min(b L ,c L )且a U ≤min(b U ,c U )，则s b ,c =s a ∨
b ,a ∨
c .证明　由(7)式可知:
a ∨
b =[max (a L ,b L ),max (a U ,b U )]=[b L ,b U ]=b
(10)a ∨c =[max (a L ,c L ),max (a U ,c U )]=[c L ,c U ]=c
(11)因此，有s a ∨b ,a ∨c =s b ,c .s b ,b ∩c
定理9　1)s b ,c ≤s b ,b ∩c ;2)s b ,c ≤s b ,b ∪c 3)s a ,b ≤s a ,a ∧b ;4)s a ,b ≤s a ,a ∨b .
证明　下面只证1)和3)两不等式,2)和4)同理可证得.
对于1)：由s b ,c 的几何定义知:
s b ,b ∩c =
|b ∩(b ∩c )||b ∪(b ∩c )|=|b ∩c ||b |,s b ,c =|b ∩c ||b ∪c |(12)
显然有s b ,c ≤s b ,b ∩c .
对于3)：因为a 和b 有六种可能的位置关系，如图1—图6可知:
i)当b U ≤a L 时(见图1)，有a ∧b =b ，因此
s a ,a ∧b =|a ∩(a ∧b )||a ∪(a ∧b )|=|a ∩b ||a ∪b |=s a ,b (13)  ii)当a U ≤b L 时(见图2)，有a ∧b =a ，因此
s a ,a ∧b =
|a ∩(a ∧b )||a ∪(a ∧b )|=|a ∩a ||a ∪a |=1≥s a ,b (14)  iii )当a L <b L ≤a U <b U 时(见图3),a ∧b =a ,s a ,a ∧b =1≥s a ,b .iv )当a L ≤b L <b U ≤a U 时(见图4),a ∧b =[a L ,b U ]，因此
4数　学　的　实　践　与　认　识37卷
s a ,a ∧
b =|a ∩(a ∧b )||a ∪(a ∧b )|=b U -a L l a ≥l b l a =s a ,b (15)  v )当b L ≤a L <b U
≤a U 时(见图5)，可得a ∧b =b ,s a ,a ∧b =s a ,b .vi)当b L ≤a L <a U ≤b U 时(见图6),a ∧b =[b L ,a U ]，因此
s a ,a ∧b =|a ∩(a ∧b )||a ∪(a ∧b )|=l a a U -b L ≥l a l b
=s a ,b (16)
综上可知：不论a 和b 的位置如何都有s a ,b ≤s a ,a ∧b .3　相似度s a ,b 与可能度p (a ≥b )的关系
近年来，关于区间数的排序问题，已引起一些学者的关注，文献[4,9—13]对区间数排序的可能度公式进行了研究，其中，文献[9]给出了一种区间数排序的可能度公式:
定义3[9]　设a =[a L ,a U ],b =[b L ,b U ]，且l a =a
U -a L ,l b =b U -b L ，则称
p (a ≥b )=min max a U -b L
l a +l b
,0,1(17)为a ≥b 的可能度.
图14下面详细研究区间数相似度s a ,b 与区间数排
序的可能度p (a ≥b )之间的关系:
1)当b U ≤a L 时，有s a ,b =1-p (a ≥b )=0.
证明　根据已知条件(注：图14给出了已知
条件的几何表示)及定义2可得s a ,b =0.又因为
p (a ≥b )=min max a U -b L l a +l b ,0,1=min a U -b L
l a +l b
,1=1(18)所以，有s a ,b =1-p (a ≥b )=0.
图15
2)当b L <a L <b U <a U 时，有
11-p (a ≥b )-1s a ,b
=  1.证明　根据已知条件(注：图15给出了已知
条件的几何表示)及定义2可得s a ,b =b U -a L a U -b
L .又因为
p (a ≥b )=min m ax a U -b L l a +l b ,0,1=min a U -b L l a +l b ,1=a U -b L l a +l b
(19)因此
1-p (a ≥b )=1-a U -b L l a +l b =b U -a L
l a +l b
(20)从而，有
11-p (a ≥b )-1s a ,b =l a +l b b U -a L -a U -b L b U -a L =a U -a L +b U -b L -(a U -b L )b U -a L =b U -a L b U -a L =1(21)5
24期许瑞丽，等：区间数相似度研究