华师大版八年级上册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．
2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
要点诠释：一个正数a
a的负平方根用“
”表示；因
此，一个正数a
”表示，其中a叫做被开方数.
2.算术平方根的定义
正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）
.
要点诠释：
有意义时，a
0，a≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2
）
结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
(0)
||0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
()
2
a a
=≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
250
=
25
=
2.5
=
0.25
=. 【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是（  ）
A.5是25的算术平方根
B.l 是l 的一个平方根
C.()2
4-的平方根是－4            D.0的平方根与算术平方根都是0  【答案】C ；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.＝5，所以本说法正确；
B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.4，所以本说法错误；
D.因为＝0＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）9-没有平方根．（    ）
（24=±．（    ）
（3）21()10-
的平方根是110±．（    ） （4）25--是425的算术平方根．（    ） 【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（24=；（4）25是425
的算术平方根．
2、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（    ）
A. ±1
B.1
C. 2
D. 9
【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．
【答案】C ．
【解析】
解：根据题意得：2a+1+3a-11=0
解得：a=2．
故选C.
【总结升华】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
3、（2015•前郭县二模）观察下列各式：=2，=3，=4，…请你出其中规律，并将第n （n≥1）个等式写出来______________________________.
【思路点拨】根据所给式子，规律．
【答案】
．
【解析】
解：=（1+1）=2，
=（2+1）=3，
=（3+1）=4，
…
，
故答案为：．
【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是到规律．
举一反三：
【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是．【答案】7．
类型二、平方根的运算
4、求下列各式的值．
22
34
+；
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】
解：22
34
+257535
==⨯=；
11
0.630
35
=⨯-⨯
9
0.26  1.7
2
=--=-．
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根
(0)
a a
=>来解．
举一反三：
【变式】求下列各式的值：
（1）（2
（3（4
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
6
55
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求
长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为x，长为3x，
由题意得，x·3x＝1323
32x＝1323
21
x=±
x＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【巩固练习】
一.选择题
1. （2016•泰州）4的平方根是（）
A. ±2
B.-2
C. 2
D.
1 2±
2．下列各数中没有平方根的是（）
A．()23-B．0 C．
8
1D．36-
3．下列说法正确的是（）
A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3 C．()2
13
-的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根
4．若m4，则估计m的值所在的范围是（）
A．1＜m＜2    B. 2＜m＜3    C. 3＜m＜4    D. 4＜m＜5
5.（2015•重庆模拟）若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（）
A.﹣1
B.1
C.32014
D.﹣32014
6.一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（）
A．a＋8B．a－4C．28
a-D．28
a+
二.填空题
7．计算：（1=______；（2）=______；（3）=______；
数学八年级上册
（4=______；（5=______；（6）=______．
8. （2016•广东）9的算术平方根是________.
9.
11
1
25
的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______．
10的算术平方根是____________．
112，则这个数的平方是______．
12．（2015春•罗田县期中）已知，，则=________.
三.解答题
13．求下列各式中的x．
（1）21431
x-=；（2）2
410
x-=；
14．（2015春•昌江县校级期中）小文房间的面积为10.8m2，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
15.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A ；
【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.
2. 【答案】D ；
【解析】负数没有平方根.
3. 【答案】B ；
【解析】169的平方根是13±，()2
13-的平方根是13±. 4. 【答案】B ；
【解析】67<<，所以2－4＜3 .
5. 【答案】A ； 【解析】解：∵+（y+2）2=0，
∴x=1，y=﹣2，
∴（x+y ）2015=（1﹣2）2015=﹣1，
故选A ．
6. 【答案】D ；
【解析】一个数的算术平方根是a ，则这个数是2
a .
二.填空题 7. 【答案】11；－16；12±；9；3；32-
. 8. 【答案】3；
9. 【答案】65
±；0.01；0. 10.【答案】2；－3；
＝49，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反
数.
11.【答案】16；
【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4的平方是16.
12.【答案】578.9.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2144x =  （2）2
1 =4
x        12x =±        1  2x =±          14.【解析】
解：设每块地砖的边长是x ，
则120x 2
=10.8，
解得x=±0.3（舍负），
答：每块地砖的边长是0.3m.
15.【解析】
解：∵25＜35＜36
<；即5＜35＜6
∵35比较接近36，