1.若一个三角形的三边长是三个连续的自然数,其周长m满足10<m<22,则这样的三角形有( )
A. | 2个 | B. | 3个 | C. | 4个 | D. | 5个 | |
3.已知:在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD.
(1)如图①,若∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD ②∠APB=60°.
(2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为 ,∠APB的大小为 (直接写出结果,不证明)
4.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点(不重合),且∠BEC=∠CFA=∠a
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面问题:
①若∠BCA=90°,∠a=90°,请在图1中补全图形,并证明:BE=CF,EF=|BE﹣AF|;
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件 ,使①中的两个结论仍然成立;
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠a=∠BCA,请写出EF、BE、AF三条线段数量关系(不要求证明).
(1)运动 秒时,AE=DC(不必说明理由);
(2)运动多少秒时,∠ADE=∠B,并请说明理由.
7.(1)观察推理:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D、E.求证:△AEC≌△CDB;
(3)拓展提升:如图3,等边△EBC中,EC=BC=3cm,点O在BC上,且OC=2cm,动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上,求点P运动的时间ts.
8.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
1.解答: | 解:设中间的数为x,则前面一个为x﹣1,后面一个为x+1,由题意得: 10<x﹣1+x+x+1<22,解得:3<x<7, ∵x为自然数:∴x=4,5,6,7.故选:C. |
2.解答: | 解:猜测AE=BD,AE⊥BD; 理由如下: ∵∠ACD=∠BCE=90°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB, 又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∴AC=CD,CE=CB, 在△ACE与△DCB中,∴△ACE≌△DCB(SAS), ∴AE=BD,∠CAE=∠CDB; ∵∠AFC=∠DFH,∠FAC+∠AFC=90°,∴∠DHF=∠ACD=90°, ∴AE⊥BD.故线段AE和BD的数量相等,位置是垂直关系. |
3.解答: | 解:(1)①证明:∵∠AOB=∠COD=60°, ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, ∴∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中,,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD; ②证明:∵△AOC≌△BOD, ∴∠OAC=∠OBD,∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB, ∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB,∴∠APB=60°; (2)AC=BD,∠APB=α. |
4.解答: | (1)①如图,E点在F点的左侧,∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°, ∴∠BEC=∠AFC=90°, ∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°, ∴∠CBE=∠ACF, 在△BCE和△CAF中,∴△BCE≌△CAF(AAS), ∴BE=CF,CE=AF,∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF, 当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,∴EF=|BE﹣AF|; ②∠α+∠ACB=180°时,①中两个结论仍然成立; 证明:∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,∴∠CBE=∠ACF, 在△BCE和△CAF中,∴△BCE≌△CAF(AAS), ∴BE=CF,CE=AF,∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF, 当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,∴EF=|BE﹣AF|; (2)EF=BE+AF. 理由是:∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA, 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°, ∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF, ∴∠EBC=∠ACF,在△BEC和△CFA中,, ∴△BEC≌△CFA(AAS),∴AF=CE,BE=CF, ∵EF=CE+CF,∴EF=BE+AF. |
6.解:(1)设运动的时间是t秒,
则CD=12﹣2t,AE=9﹣2t,9﹣2t=(12﹣2t)t=3,故答案为:3.
(2)设x秒后,∠ADE=∠B,
∵∠B=∠C=90°﹣∠BAC,∴∠B=∠C=∠ADE,
∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°,∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°,∴∠BAD=∠EDC,
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS),∴DC=AB=9,∴BD=3,∴x=,
即运动秒时,∠ADE=90°﹣∠BAC,
∵AB=AC=9cm,∴∠B=∠C=,即∠B=90°﹣∠BAC,
∵∠ADE=90°﹣∠BAC,∴∠ADE=∠B.
7.证明:(1)∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=ECB,
在△ADC和△CEB中,∴△ADC≌△CEB;
(2)如图1,
根据题意得出旋转后图形,AC′⊥AC,B′D′⊥AC,
∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′,∴四边形C′AD′B′是矩形,
∴AC′=B′D′=AC=4,∴S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8;
(3)如图2,
∵△BCE是等边三角形,∴∠CBE=∠BCE=60°,
∴∠OBF=∠OCP=120°,∴∠BOF+∠BFO=60°,
∵∠POF=120°,∴∠BOF+∠OPC=60°,∴∠BFO=∠CPO,
∵OP=OF,∴△OCP≌△FBO,
数学八年级上册∴CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1,∴EP=EC+CP=3+1=4,
∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动,∴t=4÷1=4s.
8.解答: | 解:(1)①∵t=1s,∴BP=CQ=3×1=3cm, ∵AB=10cm,点D为AB的中点,∴BD=5cm. 又∵PC=BC﹣BP,BC=8cm,∴PC=8﹣3=5cm,∴PC=BD. 又∵AB=AC,∴∠B=∠C, 在△BPD和△CQP中,∴△BPD≌△CQP.(SAS) ②∵vP≠vQ,∴BP≠CQ, 若△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,则BP=PC=4cm,CQ=BD=5cm, ∴点P,点Q运动的时间s,∴cm/s; (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇, 由题意,得x=3x+2×10,解得.∴点P共运动了×3=80cm. △ABC周长为:10+10+8=28cm, 若是运动了三圈即为:28×3=84cm, ∵84﹣80=4cm<AB的长度,∴点P、点Q在AB边上相遇, ∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇. |
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