1.若一个三角形的三边长是三个连续的自然数,其周长m满足10<m<22,则这样的三角形有(  )
 
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
2.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由.
 
3.已知:在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD.
(1)如图①,若∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD      ②∠APB=60°.
(2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为  ,∠APB的大小为  (直接写出结果,不证明)
 
4.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点(不重合),且∠BEC=∠CFA=∠a
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面问题:
①若∠BCA=90°,∠a=90°,请在图1中补全图形,并证明:BE=CF,EF=|BE﹣AF|;
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件    ,使①中的两个结论仍然成立;
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠a=∠BCA,请写出EF、BE、AF三条线段数量关系(不要求证明).
 
6.如图.在ABC中.AB=AC=9,BC=12,B=C,点D从B出发以每秒2厘米的速度在线BC上从B向C方向运动,点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动,连接AD、DE;
(1)运动      秒时,AE=DC(不必说明理由);
(2)运动多少秒时,ADE=B,并请说明理由.
7.(1)观察推理:如图1,ABC中,ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧,BDl,AEl,垂足分别为D、E.求证:AEC≌△CDB;
(2)类比探究:如图2,RtABC中,ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,连接B′C,求AB′C的面积.
(3)拓展提升:如图3,等边EBC中,EC=BC=3cm,点O在BC上,且OC=2cm,动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上,求点P运动的时间ts.
8.如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
1.解答:
解:设中间的数为x,则前面一个为x﹣1,后面一个为x+1,由题意得:
10<x﹣1+x+x+1<22,解得:3<x<7
∵x为自然数:∴x=4,5,6,7.故选:C.
2.解答:
解:猜测AE=BD,AE⊥BD;
理由如下:
∵∠ACD=∠BCE=90°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB,
又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∴AC=CD,CE=CB,
在△ACE与△DCB中,∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB;
∵∠AFC=∠DFH,∠FAC+∠AFC=90°,∴∠DHF=∠ACD=90°,
∴AE⊥BD.故线段AE和BD的数量相等,位置是垂直关系.
3.解答:
解:(1)①证明:∵∠AOB=∠COD=60°,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,,∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD;
②证明:∵△AOC≌△BOD,
∴∠OAC=∠OBD,∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB,
∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB,∴∠APB=60°;
(2)AC=BD,∠APB=α.
4.解答:
(1)①如图,E点在F点的左侧,∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°,
∴∠BEC=∠AFC=90°,
∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,
∴∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中,∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF,
当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,∴EF=|BE﹣AF|;
②∠α+∠ACB=180°时,①中两个结论仍然成立;
证明:∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,∴∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中,∴△BCE≌△CAF(AAS),
∴BE=CF,CE=AF,∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF,
当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,∴EF=|BE﹣AF|;
(2)EF=BE+AF.
理由是:∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA,
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,
∴∠EBC=∠ACF,在△BEC和△CFA中,
∴△BEC≌△CFA(AAS),∴AF=CE,BE=CF,
∵EF=CE+CF,∴EF=BE+AF.
6.解:(1)设运动的时间是t秒,
则CD=12﹣2t,AE=9﹣2t,9﹣2t=(12﹣2t)t=3,故答案为:3.
(2)设x秒后,ADE=B,
∵∠B=C=90°﹣BAC,∴∠B=C=ADE,
∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°,EDC+∠ADE+∠ADB=180°,∴∠BAD=EDC,
ABD和DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS),DC=AB=9,BD=3,x=
即运动秒时,ADE=90°﹣BAC,
AB=AC=9cm,∴∠B=C=,即B=90°﹣BAC,
∵∠ADE=90°﹣BAC,∴∠ADE=B.
 
7.证明:(1)∵∠DAC+∠DCA=ECB+∠DCA=90°,∴∠DAC=ECB,
ADC和CEB中,∴△ADC≌△CEB;
(2)如图1,
     
根据题意得出旋转后图形,AC′AC,B′D′AC,
∵∠C′AC=AC′B′=AD′B′,四边形C′AD′B′是矩形,
AC′=B′D′=AC=4,S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8;
(3)如图2,
∵△BCE是等边三角形,∴∠CBE=BCE=60°,
∴∠OBF=OCP=120°,∴∠BOF+∠BFO=60°,
∵∠POF=120°,∴∠BOF+∠OPC=60°,∴∠BFO=CPO,
OP=OF,∴△OCP≌△FBO,
数学八年级上册
CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1,EP=EC+CP=3+1=4,
动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动,t=4÷1=4s.
8.解答:
解:(1)①∵t=1s,∴BP=CQ=3×1=3cm,
∵AB=10cm,点D为AB的中点,∴BD=5cm.
又∵PC=BC﹣BP,BC=8cm,∴PC=8﹣3=5cm,∴PC=BD.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△BPD和△CQP中,∴△BPD≌△CQP.(SAS)
②∵vP≠vQ,∴BP≠CQ,
若△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,则BP=PC=4cm,CQ=BD=5cm,
∴点P,点Q运动的时间s,∴cm/s;
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,
由题意,得x=3x+2×10,解得.∴点P共运动了×3=80cm.
△ABC周长为:10+10+8=28cm,
若是运动了三圈即为:28×3=84cm,
∵84﹣80=4cm<AB的长度,∴点P、点Q在AB边上相遇,
∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇.