I ．题源探究·黄金母题【例1】从1,3，5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8，中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
【解析】分为3步，第1步，从1,3,5,7,9中任取3个数字的种数为，第2步，从2,4,6,8，中任取2个数字的种数为35C ，第3步，将这5个数字排成一排方法种数为，根据24C 55A 分步计数原理，故可组成没有重复数字的五位数的个数为35
C =7200．24C 55A 精彩解读
【试题来源】人教版A 版选修2-3第28页习题1.2B 组第3题．【母题评析】本题考查利用排列与组合的有
关知识和公式及计数原理解决排列组合综合
问题的能力，是常考题型．
【思路方法】分成三步，先计算从
1,3,5,7,9中任取3个数字的种数，再计算
从2,4,6,8，中任取2个数字的种数，再计算
将这5个数字排成一排方法种数，根据分分
步计数原理即可求出组成没有重复数字五位数个数．II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其
中比40000大的偶数共有（ ）
（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个
【答案】B
【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有
3
42A ⨯个.所以共有个.选B.343A ⨯342A ⨯343524120A +⨯=⨯=【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.
在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.
【例3】【2014高考北京版理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，
A B 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.
A C 【答案】36
【解析】先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有种方法，而A 、B 可交换位置，
4
4A 所以有种摆法，又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，有种摆法，故满足条
48244=A 12233=A 件的摆法有种.
361248=-【例4】【2013高考四川卷，理】从这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为1,3,5,7,9，共可得到的不同值的个数是（ ）
,a b lg lg a b -（A ） （B ） （C ） （D ）9101820
【答案】C
【解析】从这五个数中，每次取出两个不同的数的取法有种，不1,3,5,7,9255420A =⨯=妨记取出的两个不同的数组成有序数对，∵，∴由对数函数的单调性(,)a b lg lg lg
a a
b b -=知，的不同值的个数即为不同值的个数，由于， ，所以不同值的lg lg a b -a b 1339=3913
=个数为种，选C.
20218-=【例5】【2013年高考福建，理】满足，且关于的方程有实{}2,1,0,1,-∈b a x 022=++b x ax 数解的有序数对的个数为（ ）
A. 14
B. 13
C. 12
D. 10
【答案】B
【解析】此方程有根即，有序数对所有取法为种，440ab ∆=-≥1ab ≤(,)a b 11
44*16C C =其中不满足的只有三种，所以满足题意的为16-3=13种.
1ab ≤(1,2),(2,1),(2,2)【例6】【2013年高考北京卷，理】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .
【答案】96
【解析】连号的情况有1,2，2,3,3,4,4,5，共四种，比如把连号1,2，3,4,5全部分给4人，每人至少一张，则有种，故不同的分法种数是种.
44A 44496A =【例7】【2013高考浙江，理】将六个字母排成一排，且均在的同侧，F E D C B A ,,,,,B A ,C 则不同的排法共有________种（用数字作答）.
【答案】480
【命题意图】本类题问题本题考查利用排列与组合的有关知识和公式及计数原理解决排列组合综合问题的能力，考查考生运算求解能力和应用意识．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度中等偏上，考查基础知识和基本方法解决实际问题能力．
【难点中心】解答此类问题的关键是分析完成计数问题的步骤和完成每步方法数．
III ．理论基础·解题原理
1.隔板法又叫隔墙法，插板法，n 件相同物品（n 个名额）分给m 个人，名额分配，相同物品分配常用此法.
若每个人至少1件物品（1个名额），则n 件物品（n 名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有种分11--m n C 法。备战高考
若允许有人分不到物品 ，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有种方法，再将n 件物品放入余下的位置，只有11--+m m n C 1种方法，m-1块隔板将物品分成m 块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有种分法.
1
1--+m m n C 2. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均
分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不1343C C
224222C C A 同的分法．
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度中等偏上，考查基础知识和基本方法解决实际问题能力．
【技能方法】
1.对将个元素分配到（＞）个位置问题，通常先分组再分配，注意分组时是否m n m n 是部分平均分组.
2.排列组合混合问题，常用取后排法，即先选取元素，再对元素进行排列.
3.含“至多”、“至少”等多个限定条件问题，常分成若干类，先计算出每类的种数，再利用分类计数原理求解.
4.对有特定元素在（或不在）特定位置的排列组合综合问题常用元素优先法或位置优先法.
5.对复杂的排列组合综合问题，通常通过分类计数原理和分布计数原理分解成若干个简单的排列组合问题来处理.
【易错指导】
对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．
V ．举一反三·触类旁通
考向1 分配问题
【例1】【2017届贵州遵义市南白中学高三第一次联考数学（理）】某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由名教师对个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”35学生不超过人，则不同的“包教”方案有（ ）
2A ． B ． C ． D ．9060150120【答案】A
【方法指导】对部分平均分组问题，先分组然后除以平均分组组数的阶乘；对分配问题，先分组再分配.
【跟踪训练】
1.【2015-2016学年山东师大附中高二下期末数学（理）】学校要选派名爱好摄影的同学中4的名参加校外摄影小组的期培训（每期只派名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学331都不能参加第期培训，则不同的选派方式有（ ）
1A.种 B.种 C.种 D.种
681012【答案】D
【解析】派学生参加第1期培训的方法有种，派学生参加其余2期培训的方法有种，12C 2
3A 由分步计数原理可得不同的选派方式有种，故选D ．12
23
12C A ⋅=2.【2017届江西新余一中高三上学期开学考试数学（理）】西部某县委将位大学生志愿者7（男女） 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多人, 435则不同的分配方案共有（ ）
A ．种
B ．种
C ．种
D ．种
3668104110【答案】C
【解析】分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有
种；第二类有3272(1)68C A -⋅=种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.222732()36C C A -⋅=考向2 排序问题
【例2】【2016届吉林四平一中高三五模理】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位
数，其中比40000大的偶数共有 个.
【答案】120
【解析】第1类，首位为的有个，第2类，首位为的有个，根据分
444248A =544372A =类计数原理，故共有个.
120【方法指导】对排序计数问题，常用查字典法，即先把每一个数字（符合条件）或字母打头的排列数计算出来，再计算第二位数字符合条件排列，依次类推，直到要比较的数字为止，然后用分类计数原理计算数字个数.
【跟踪训练】
【2015-2016学年江苏省苏州张家港高中高二下期中理】从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是 ．
【答案】305
【解析】首位是1的四位数，有A 63=120个；首位是2的四位数，有A 63=120个；首位是3，千位是0，1，2的四位数，有C 31A 52=60个；首位是3，千位是4，十位是0的四位数，有4个，∴不大于3410的个数是120+120+60+4+1=305．
考向3 相邻与不相邻问题
【例3】【2017届山东潍坊中学高三上学期开学考试数学（理）】甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ）
A.72种
B.52种
C.36种
D.24种
【答案】C
【解析】，即先求出总的可能，然后减去甲丙或乙丙相邻，再减去甲乙
52233523332A A A A A --丙三个相邻的事件.
【思路点晴】这是典型的用补集的思想来研究的题型.主要考查排列组合、插空法、捆绑法
和对立事件法.先考虑全排列一共有种，然后减去甲丙相邻但是和乙不相邻的事件，计算
55A 时，现将甲丙捆绑，然后进行插空.最后减去甲乙丙三个相邻的. 解决排列组合应用问题的关键是要分析问题中有无限制条件．对于有限制条件的排列组合问题要注意考虑限制条件的元素或位置．对较复杂的排列组合问题，要采用先选后排的原则．
【跟踪训练】
【2015-2016学年四川南充高级中学高二下期期末理】一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法
A ．
B ．
C ．
D ．7200360024001200
【答案】A
【解析】由题意得，个人之间形成个空，插入个座位，可得不同的坐法共有
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