2021年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
学校姓名准考证号
考
生
须
知
1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑字迹签字笔作答．5．考试结束，将本
试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个
．．是符合题意的．
1．2的相反数是
A．2B．2
-C．
1
2-D．
1
2
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300000用科学记数法表示应为
A．6
0.310
⨯B．5
310
⨯C．6
310
⨯D．4
3010
⨯
3．如图，有6张扑克处于，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是
A．
1
6
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
4．右图是几何体的三视图，该几何体是
A.圆锥B．圆柱
C．正三棱柱D．正三棱锥
5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
年龄（岁）18192021
人数5412则这12名队员年龄的众数和平均数分别是
A．18，19B．19，19C．18，19.5D．19，19.5
6．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S
如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为
A．40平方米B．50平方米
C．80平方米D．100平方米
7．如图．O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为A．22
B．4C．42D．8
8．已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，
沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段
AP 的长为y ．
表示y 与x 的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．分解因式：429______________ax ay -=．
10．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，
那么这根旗杆的高度为m．
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写
出一个函数(0)k y k x
=≠，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为．
12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，，我们把点
(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，
点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，….若点1A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为
，点2014A 的坐标为；若点1A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件
为.三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，
BC DB =.求证：A E ∠=∠.
14．计算：1
1(6π)()3tan 30|3|5
--︒+--︒+-.15．解不等式
1211232x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来.16．已知3x y -=，求代数式2(1)2(2)x x y y x +-+-的值.
17．已知关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.
18．列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在ABCD Y 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平
分ABC ∠，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD .北京中考满分多少分
（1）求证：四边形ABEF 是菱形；
（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.
20．根据某研究院公布的2009~2013年我国成年国民阅读调查报告的部分相关数据，绘制的
统计图表如下：
根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出扇形统计图中m 的值；
（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，
估算2021年成年国民年人均阅读图书的数量约为本；
（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2021年与2013年成
年国民的人数基本持平，估算2021年该小区成年国民阅读图书的总数量约为
本.年份
年人均阅读图书数量（本）2009
3.882010
4.122011
4.352012
4.562013
4.78
21．如图，AB 是O e 的直径，C 是»AB 的中点，O e 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E
是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交O e 于点H ，连接BH .
（1）求证：AC CD =；
（2）若2OB =，求BH 的长.
22．阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC △中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．
小腾发现，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，通过构造ACE △，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：ACE ∠的度数为，AC 的长为．参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，
30CAD ∠=︒，75ADC ∠=︒，AC 与BD 交于点E ，
2AE =，2BE ED =，求BC 的长．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （0，2-），B （3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是
抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之
间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直
线CD 与图象G 有公共点，结合函数图像，求
点D 纵坐标t 的取值范围．
24．在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其
中DE 交直线AP 于点F ．
（1）依题意补全图1；
（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；
（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．
25．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足
M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数1y x
=
()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b
的取值范围；
（3）将函数()210y x x m m =-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值
是t ，当m 在什么范围时，满足314
t ≤≤？
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