北京市中考数学试卷及答案（完
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2021年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷 解析
满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的。 1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提
出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B
解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43
-
的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 3
4-
答案：D
解析：(0)a a ≠的倒数为
1a ，所以，43-的倒数是3
4北京中考满分多少分
- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.
51 B. 52 C. 53 D. 5
4
答案：C
解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为
53
4. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80° 答案：C
解析：∠1＝∠2＝1
2
（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得
AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线
上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于
A. 60m
B. 40m
C. 30m
D. 20m
答案：B
解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CD
BE AB
=，即
1020
20AB
=，解得：AB＝40
6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
答案：A
解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
7. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
人数10 15 20 5 则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是
A. 6.2小时
B. 6.4小时
C. 6.5小时
D. 7小时
答案：B
解析：平均体育锻炼时间是509014040
50
+++
＝6.4小时。
8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP
的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
答案：A
解析：很显然，并非二次函数，排除B；
采用特殊位置法；
当P 点与A 点重合时，此时0==x AP ，0=∆PAO S ；
当P 点与B 点重合时，此时2==x AP ，0=∆PAO S ；
本题最重要的为当1==x AP 时，此时APO ∆为等边三角形，4
143＞=∆PAO S ； 排除B 、C 、D .选择A .
【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法 二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 分解因式：a ab ab 442+-=_________________ 答案：2
(2)a b -
解析：原式＝2
(44)a b a -+＝2
(2)a b -
10. 请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________ 答案：y ＝x 2＋1
解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。
11. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则
四边形ABOM 的周长为__________ 答案：20
解析：由勾股定理，得AC ＝13，因为BO 为直角三角形斜边上的中线，所以，BO ＝6.5，由中位线，得MO ＝2.5，所以，四边形ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
12. 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线：1--=x t ，双曲
线x
y 1
=
。
在上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2
作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交于点A 3，…，这样依次得到上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。记点A n 的横坐标为n a ，若21=a ，则2a =__________，
2013a =__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取．．．
的值是__________ H
O
P
B
A
答案：
解析：根据()3,21-A 求出⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21B ；根据⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21B 求出⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,232A ；
根据⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,232A 求出⎪⎭⎫
⎝⎛--32,232B ；
根据⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,232B 求出⎪⎭⎫
⎝⎛--32,313A ；
根据⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,313A 求出⎪⎭⎫
⎝⎛--3,313B ；
根据⎪⎭
⎫
⎝⎛--3,313B 求出()3,24-A ；
至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵367032013+⨯=； ∴3
132013-==a a ；
重复上述过程，可求出()1,111--a a A 、⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1111,a a B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11121,1a a a A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-1,111112a a a a B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-1,111113a a a A 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-1,11
113a a B 、()1,114--a a A ； 由上述结果可知，分母不能为0，故1a 不能取0和1-.
【点评】规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，
多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 如图，已知D 是AC 上一点，AB=DA ，DE ∥AB ，∠B=∠DAE 。
求证：BC=AE 。 解析：
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