摘要：证明两个三角形全等的方法一般有：“SSS”,“ASA”,“AAS”,“SAS”和“HL（只针对直角三角形）”，这些证明方法都需要三个条件，但是很多证明三角形全等的题中，题目中只会给出0个，一个或者两个显性条件，那所需要的其他条件就隐含在题设或者图形中，这就需要我们去发现、挖掘。只要能挖掘出隐含条件，证明两个三角形全等自然就很简单，而不是难不可攀。
关键词：隐含、三角形
在平面几何题的证明中，如果给出的显性条件就能证明出所要证明的结论，这样的平面几何题自然易解，但是，有这样一种几何体。根据所给的显性条件是明显证明不出要证明的结论的，遇到这种平面几何题解决起来就有一定的困难了，那遇到这样的平面几何题应该怎么办了？我认为应该充分挖掘题设和图形中的隐含条件，那证明两个三角形全等可能会遇见那些情况，可能会出现那些隐含条件了？我认为有以下几种类型
一、隐含条件1 ----公共边
公共边：两个三角形共同拥有的一条边。
（1）两个三角形在公共边的同侧
例：如右图，已知AC=BD,AD=BC求证:△ACD≌△BDC
分析：在△ACD和△BDC中，已经有两条边对应相等，根据我们判定两个三角形全等的方法中，只有“三角形的内角SSS”和“SAS”两种证明方法，这就说明我们需要一条边或者一个角对应相等，仔细观察图形我们会发现CD即是△ACD的边，又是△BDC的边，这样的边我们称为公共边。即得第三个条件CD=CD。
证明：在△ACD和△BDC中
∵ AC=BD（已知）
AD=BC（已知）
CD=CD（公共边）
∴ △ACD≌△BDC（SSS）
变式1：将上题中的条件不变，而把求证改为△ACO≌△BDO
变式2：将上体中的条件和结论都不变，
而将图形改变，如右图，
（2）两个三角形在公共边的异侧
例：AB=AC,BD=CD,则∠B=∠C,请说明理由。
分析：证明角相等，一般需要证明两个三角形全等，通过题设条件可知。只知道两条边对应相等，这两个条件就说明了我们的推理，要证明两个三角形全等，必须要三个条件，所以缺少的那个必然在图形中，仔细观察可以发现。AD既是△ABD的边，也是△ACD的边。即得到第三个条件AD=AD
证明：在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC（已知）
BD=CD（已知）
AD=AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（SSS）
二、隐含条件2 ----公共角
公共角:两个三角形共同拥有的一个内角
例：如右图，已知AB=AC，AD=AE，则BD＝CE。请说明理由。
分析：在△ABD和△ACE中，已经有两条边对应相等，根据我们判定两个三角形全等的方法中，只有“SSS”和“SAS”两种证明方法，仔细观察图形，并没有公共边，故不到边得关系，那就只有从角入手，仔细观察图形会发现
∠A既是△ABD的一个内角，也是△ACE的一个内角，即可以得到第三个条件∠A=∠A
解：在△ABD和△ACE中，
∵ AD = AE ( 已知 )
∠A = ∠A （公共角）
AB = AC （已知 ）
∴ △ABD≌ △ACE ( SAS )
∴ BD = CE（全等三角形对应角相等 ）
变式：如右上图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD＝CE。请说明理由。
三、隐含条件3 ----对顶角
对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。
例：如右图，已知∠A =∠B，AC = BD,
求证：△ACO≌ △BDO
分析：在△ACO和△BDO中，有一边和一角对应相等，根据我们的判定方法，含有一边与一角的判定有“ASA”,“AAS”,“SAS”三种判定方法，那我们还需要一边或则一角，这个条件题设无法到，就说明隐含在我们的图形中，仔细观察图形，无公共边，但是有一组对顶角，更具对顶角相等可以得到∠AOC =∠BOD,故第三个条件就到了。
证明：在△ACO和△BDO中
∵ ∠A =∠B（已知）
AC = BD（已知）
∠AOC =∠BOD（对顶角相等）
∴△ACO≌ △BDO（AAS）
变式1: 如上图，已知AO=BO，CO = DO,求证：△ACO≌ △BDO
四、隐含条件4 ----公共线段
公共线段：一般是两个三角形的一对对应边拥有的一条线段。 遇到这样的图形，一般要进行线段的加或者减，才能解决问题。
例：如图、点B、E、C、F在同一条直线上。且AB=DE，AC=DF，BE=CF。
证明:△ABC≌△DEF
分析：由题设可知，在△ABC和△DEF中只有两条边对应相等，BE和CF只是两个三角形边的一部分，故不能用来直接证明两个三角形全等，但是观察图形可知图形中既没有隐含公共边，也没有隐含公共角，那隐含了什么条件？仔细观察会发现BE和CF都与EC相邻，而且BE+EC=BC,CF+EC=EF,而BC,EF恰好分别为△ABC和△DEF的边，故只需证明BC= EF就可以证明两个三角形全等。
证明：∵BE=CF ( 已知 )
∴BE+ EC = CF+EC
即BC= EF
在△ABC和△DEF中，
∵ AB= DE ( 已知 )
AC =DF ( 已知 )
BC= EF ( 已证 )
∴△ABC≌△DEF ( SSS )
五、隐含条件5 ----两个角的重叠部分的角
两个角的重叠部分的角：两个三角形的一组对应角的重叠部分的角，遇见这样的图形一般要进行角的加或者减才能解决题中的问题。
例：如右图，AB=AD,AC=AE, ∠BAD =∠CAE,
证明：△ABC≌△ADE
分析：在△ABC和△ADE中，已经有两条边对应相等，故可以选取“SSS”或者“SAS”来证明两个三角形全等，由于题设中给出了一对角相等，但是这对角不是三角形的内角，而是一个内角的一部分，因此不能直接用来证明两个三角形全等，但是我们可以从他们入手，来证明一对内角相等，观察右图，∠BAD 和∠CAE都与∠DAC相邻，而且∠BAD+∠DAC=∠BAC ∠CAE+∠DAC=∠DAE ,而∠BAC，∠DAE恰好为两个三角形的内角，只要证明到这两个角相等就可以用“SAS”来证明两个三角形全等。
证明： ∵∠BAD =∠CAE （已知）
, ∴∠BAD+∠DAC= ∠CAE+∠DAC（等式性质）
即 ∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
∵ AB=AD （已知）
AC=AE （已知）
∠BAC=∠DAE （已证）
∴△ABC≌△ADE （SAS）
变式：如上图，将△ABC绕其顶点A逆时针旋转30 o后，得△ADE。
（1）、△ABC与△ADE的关系如何？
（2）、求∠BAD的度数
（3）、求证 ∠CAE=∠BAD
六、隐含条件6 ----垂直、平行
在一些应用题中，题设中会隐含一些条件，一般有垂直、平行、相等三种情况，如：楼房与地面的关系隐含垂直关系；太阳光线隐含平行关系等等。
例：中午12点时，操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿，如右图，它们的影长相等吗？
分析：由题意知AB=DE，需要证明BC=EF,证明线段相等，
一般需要证明两个三角形全等，而证明全等需要三个条件，
题设只给出了一个显性条件，那说明还有两个隐含条件需
要我们去挖掘，隐含条件（1）：太阳光是平行的，所以AC//DF, 隐含条件（2）：竖立着的两根竹竿，说明竹竿与地面是垂直关系，即AB⊥BC，DE⊥EF有了这两个隐含条件证明两个三角形自然很容易了。
解：∵两根竹竿一样长
∴ AB=DE
∵AC// DF,
∴∠ACB=∠DFE
∵AB⊥BC，DE⊥EF
∴∠ABC=∠DEF=90°
在△ABC和△A′B′C′中
∵ AB=DE
∠ACB=∠DFE
∠ABC=∠DEF
∴△ABC≌△DEF′（AAS）
∴BC=EF
即它们的影长相等．
总之，对于初一学生而言，几何题的证明是一个难点，证明两个三角形全等
也是他们的一个难点，但是如果能理解、掌握证明两个三角形全等的五种方法以及6个隐含条件，他们就会很容易在题设和题目中挖掘出隐含条件，抓住题目实质，易证两个三角形全等，并解决题目中的问题。
【参考文献】
朱新明 《解决几何问题的思维过程》 心理学报 1983/01
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