三角形内角与外交平分线定理
一、内角平分线定理
已知：如图所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC;
思路1：过C作角平分线AD的平行线。
证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。
则： BA/AE=BD/DC;
∵ ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）
∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）
∠BAD=∠CAD；（已知）
∴ ∠AEC=∠ACE；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴ BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC
证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；
∵ ∠BAD=∠CAD；（已知）
∴ DE=DF；
∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。
二、外角平分线定理
已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC
思路1：作角平分线AD的平行线。
证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC
∵ ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）
∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）
三角形的内角
∠DAF=∠DAC；（已知）
∴ ∠CEA=∠ECA；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴ BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证： BA/AC=BD/DC.
证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
∴ DE=DF；
∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴ BA/AC=BD/DC
结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高
3．如图，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
图
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