2021研究生入学考试考研数学试卷（数学一）
一、选择题（1-10小题，每题5分，共计50分） 1.函数1
,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
，在0x =处（  ）
（A ）连续且取得极大值 （B ）连续且取得极小值 （C ）可导且导数等于零 （D ）可导且导数不为零
2.设函数(,)f x y 可微，且222(1,)(1),(,)2ln x f x e x x f x x x x +=+=，则(1,1)df =（  ） （A ）dx dy +    （B ）dx dy -    （C ）dy    （D ）dy -
3.设函数2
sin ()1x
f x x
=
+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则（  ） （A ）71,0,6a b c ===-      （B ）7
1,0,6a b c ===
（C ）71,1,6a b c =-=-=-    （D ）7
1,1,6
a b c =-=-=
4.设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1
0()f x dx =⎰（  ）
（A ）1211lim 22n
n k k f n n →∞=-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑      （B ）1
211
lim 2n
n k k f n n →∞=-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑    （C ）2111lim 2n n k k f n n →∞=-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑        （D ）21
2
lim 2n
n k k f n n →∞
=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑  5. 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正负惯性指数依次为（  ） （A ）2，0      （B ）1，1      （C ）2，1      （D ）1，2
6.已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，记11βα=，221k βαβ=-，331122l l βαββ=--，若1β，
2β，3β两两正交，则12,l l 依次为（  ）
（A ）51,22                  （B ）51
,22-
（C ）51,22-                  （D ）51,22
--
7.设A 、B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是（  ）
（A ）T 2()A
O r r A O
A A ⎛⎫=
⎪⎝⎭              （B ）T 2()A
AB r r A O
A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（C ）T 2()A
BA r r A O AA ⎛⎫=
⎪⎝⎭              （D ）T 2()A
O r r A BA A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
8.设A 、B 为随机事件，且0()1P B << ，下列为假命题的是（  ） （A ）若()()P A B P A =，则()()P A B P A = （B ）若()()P A B P A >，则()()P A B P A > （C ）若()()P A B P A B >，则()()P A B P A > （D ）若()()P A A B P A A B ⋃>⋃，则()()P A P B > 9.设1122(,),(,),
,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体22
1212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令
12θμμ=-，11
11,n n
i i i i X X Y Y n n ====∑∑，ˆX Y θ
=-，则（  ） （A ）则ˆθ是θ的无偏估计，且22
12
ˆ()D n σσθ+=
（B ）则ˆθ不是θ的无偏估计，且22
12
ˆ()D n σσθ+=
（C ）则ˆθ是θ的无偏估计，且22
1212
2ˆ()D n σσρσσθ+-=
（D ）则ˆθ不是θ的无偏估计，且22
1212
2ˆ()D n
σσρσσθ+-=
10.设1216,,,X X X 是来自总体(,4)N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：
01:10,:10H H μμ≤>，()x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为{11}W X =≥，其中16
1
116i i X X ==∑，则11.5μ=时，该检验犯第二类错误的概率为（  ）
（A ）1(0.5)-Φ        （B ）1(1)-Φ    （C ）1(1.5)-Φ        （D ）1(2)-Φ  二、填空题（11-16小题，每小题5分，共计30分） 11.20
______22
dx
x x +∞=++⎰
12.设函数()y y x =由参数方程2
21
4(1)t
t x e t y t e t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则22
_____t d y dx ==  13.欧拉方程240x y xy y '''+-=满足条件：(1)1y =，(1)2y '=的解为_____y =
14.设∑为空间区域22{(,,)|44,02}x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分
22
____x dydz y dzdx zdxdy ∑
++=⎰⎰
15.设方阵33A ⨯，ij A 为元素ij a 的代数余子式，A 的各行元素之和为2，且行列式3A =，试
求112131______A A A ++=
16.甲、乙两袋中各有2个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球，观察颜后放入乙袋，再从乙袋中取出一球，记甲袋取出的红球个数为X ，乙袋取出的红球个数为Y ，则,X Y 的相关系数为_______
三、解答题（共计70分）
17.（本题满分10分）试求极限：20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫
+ ⎪- ⎪- ⎪
⎝⎭
⎰ 18.（本题满分12分）设1()(1,2,)(1)n nx
x u x e n n n +-=+=+，求级数1
()n u x ∞
=∑的收敛域及和函数
19.（本题满分12分）已知曲线2226
:4230x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩
，求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大
值
20（本题满分12分）设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()4D
I D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值
的积分区域记为1D  （1）求1()I D 的值 （2）计算
2
2
2
2考研时间2021考试时间
1
4422
()(4)4x
y x
y D xe y dx ye x dy
x y ++∂++-+⎰
，其中1D ∂为1D 的正向边界
21（本题满分12分）已知111111a A a a -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
（1）求正交矩阵P ，使得T P AP 为对角矩阵； （2）求正定矩阵C ，使得2(3)C a E A =+-
22. （本题满分12分）在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记作X ，较长的一段长度记作Y ，令Y Z X
= （1）求X 的概率密度
（2）求Z 的概率密度
（3）求X E Y ⎛⎫
⎪⎝⎭