授课者：谢衫峰
教学目标：
2.经历探索运用完全平方公式因式分解的过程，体会逆向思维在数学中的应用，同时了解换元的思想方法．
3.探索多项式因式分解的步骤与方法，体会化归思想的应用.
教学重难点：
重点：用完全平方公式进行分解因式.
难点：根据多项式的特点，恰当地安排步骤，灵活地选用不同方法进行因式分解.
课前准备：多媒体课件.
教学过程：
一、温故知新，引入新课
问题1：我们学习了哪些因式分解的方法？
问题2：把下列各式分解因式：
（1）ax4-9ay2； （2）x4-16．
问题3：整式乘法中，我们除了学过平方差公式外，还学过了哪个乘法公式？
1.提取公因式法和运用平方差公式法．
2.解:（1）ax4-9ay2=a(x4-9y2)
=a(x2+3y)(x2-3y)
（2）x4-16=(x2+4)(x2-4)
=(x2+4)(x2+2)(x2-2)
3.完全平方公式：.
过渡：我们能够利用平方差公式分解因式，那么能不能用完全平方公式分解因式呢？
本节课我们就一起探究这个问题.
设计意图：复习以习题的形式回忆两种提公因式和平方差公式分解因式的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫.
二、合作探究，获取新知
活动内容1：类比利用平方差公式因式分解，把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．
请结合a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，完成以下探究问题．
（1）完全平方公式特点：
左边： ．
右边： ．
（2）形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子我们称为 ．
处理方式：类比利用平方差公式分解因式，让学生以小组讨论、合作交流的方式探讨完全平方公式的特点，及什么是完全平方式，小组展示结论，教师依据学生回答中出现的问题点评并强调公式a2+2ab+b2=（a+b）2与a2-2ab+b2=（a-b）2，叫做因式分解的完全平方公式；a2+2ab+b2，a2-2ab+b2叫做完全平方式.预设学生回答.
1.完全平方公式特点：
左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方.这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可.
右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方.
2. 形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子称为完全平方式．
设计意图：通过小组合作学习，让学生在已有知识的基础上，加深对完全平方公式的理解，对完全平方式特征的认识，进一步感受因式分解与整式乘法的关系.
巩固训练1：
1.下列各式是不是完全平方式？若不是，请说明理由．
；；；.
2.已知是一个完全平方式，则k是多少？
处理方式：学生独立做题，然后小组交流，教师选代表回答并及时矫正.对于第二题可适当
提醒学生考虑完全平方式的两种形式.预设学生回答.
1．（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；（4）不是；因为不是a与b乘积的2倍．
2． k是±12，因为是完全平方式中的乘积的2倍对应的项，而完全平方式有两种形式，符号可正可负.所以它对应的答案有两个.
设计意图：通过题目练习一方面加深学生对完全平方式特征的理解，并能顺利的辨别哪些是完全平方式，为利用完全平方式分解因式打下基础.另一方面 教师可以更好的了解学生的掌握情况，以便及时的调整教学.
活动内容2：通过对a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2和a2-b2=(a+b)(a-b)的学习，结合整式乘法，你能说说什么是因式分解的公式法吗？
处理方式：学生小组讨论后尝试归纳，教师总结点评，明确运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解.预设学生回答.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
设计意图：通过小组合作学习，让学生在理解的基础上，加深对公式法进行因式分解的认识，正确把握各公式的特征，并根据多项式的形式和特点灵活选择用公式进行因式分解.
巩固训练2：
下列各式：①-x2-16y2 ②-a+9b2 ③m2-4n2 ④-x4+y4 ⑤x2+y2+2xy ⑥- a2-2ab+b2
⑦m2-4mn+4n2 ⑧4a2-2a+1其中，能用公式法因式分解的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
处理方式：学生独立完成后，小组展示答案，教师点评.
三、学以致用，解决问题
例3 把下列完全平方式分解因式：
（1） x2+14x+49； （2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9.
处理方式：让学生观察例题两式的特点，引导学生对照完全平方公式，明确公式中的a、b在x2+14x+49与（m+n）2-6(m+n)+9中分别是什么（a、b可以是单相式，也可以是多项式），并尝试用语言表述加以理解，如x2+2×7×x+72是x与7两数的平方和，加上这两数积的2倍．小组讨论后由学生分别口述解题过程，教师借助多媒体展示解题过程，让学生进一步理解并规范如何使用完全平方公式进行因式分解．
解：（1） x2+14x+49= x2+ 2×x×7+ 72= (x + 7)2．
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
a2 +2×a×b+ b2=(a + b)2
（2）（m＋n）2－6(m＋n)＋9
=(m＋n)2－2·(m＋n)×3＋32
=[(m＋n)－3]2
=(m＋n－3)2
巩固训练3：
把下列各式分解因式：
（1）x2y2-2xy+1； （2）4-12(x-y)+9(x-y)2．
处理方式：选2名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视指导.学生完成后，同位交换练习，教师点评矫正.预设学生回答.
解：（1）x2y2-2xy+1=(xy)2-2xy+1=(xy-1)2；
（2）4-12(x-y)+9(x-y)2
=22-2×2×3(x-y)+[3(x-y)］2
=[2-3(x-y)］2
=(2-3x+3y)2.
初二数学下册设计意图：培养学生对完全平方公式分解因式的应用能力，让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
例4 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy．
处理方式：让学生观察题目特点，展开小组讨论，教师引导学生体会在因式分解中，多项式有公因式要先提公因式，再进一步因式分解；当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数.学生口述解题过程，师及时点评并多媒体展示解题过程.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
（2）-x2-4y2+4xy=-(x2+4y2-4xy)
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2．
巩固训练4：
把下列各式分解因式：
（1）-2xy-x2-y2；（2）2mx2-4mx+2m．
处理方式：两名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视学生并辅导，做完后教师展示出答案.预设学生.
解：（1）-2xy-x2-y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2；
（2）2mx2-4mx+2m
=2m(x2-2x+1)
=2m(x-1)2．
设计意图：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
思考：通过你所学的因式分解的知识，想一想对于一个多项式，你如何对它进行因式分解呢？
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