4.3.2 公式法（二）
•教学目标
（一）教学知识点
2. 使学生学习多步骤，多方法的分解因式 .
（二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维 的能力 .
（三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想 能力 .
•教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法 .
•教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式 .
•教学方法
观察—发现—运用法
•教具准备
投影片两张
第一张（记作§ 4.3.2 A ）
第二张（记作§ 4.3.2 B ）
•教学过程
I.创设问题情境，弓I入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们到了因式分 解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法 . 现在，大家自然会想，还有哪些乘法公 式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式
（ a+b）（ a－ b） =a2－ b2
而且还学习了完全平方公式
2 2 2
（ a± b） 2=a2±2ab+b2 本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式 .
n.新课
1. 推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点 .
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公
式呢?
［生］可以
将完全平方公式倒写:
2 2
a +2ab+b = (a+b)
a2— 2ab+b2= ( a— b)
便得到用完全平方公式分解因式的公式 •
［师］很好•那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流， 出这个多项式的特点•
［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“ +”，是一个
整式的平方，还有一项符号可“ +”可它是那两项乘积的两倍 •凡具备这些特点的
三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解
［师］左边的特点有(1)多项式是三项式；
(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
(3) 另一项是这两数或两式乘积的 2倍•
右边的特点：这两数或两式和(差)的平方 •
用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的 2倍，等于这两个
数的和(或差)的平方•
形如a2+2ab+b2或a2— 2ab+b2的式子称为完全平方式•
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把 某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法
投影(§ 432 A )
练一练
下列各式是不是完全平方式？
2
(1)a — 4a+4;
(2)x2+4x+4y2;
2 1 2
(3)4a+2ab+—b ;
4
2 2
(4)a — ab+b ;
(5)x — 6x — 9;
2
(6)a+a+0.25.
［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两 项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的
［生］( 1)是 .
(2)不是；因为 4x 不是 x 与 2y 乘积的 2倍； ( 3)是；
(4)不是.ab不是a与b乘积的2倍.
(5)不是，x2与—9的符号不统一.
( 6)是 .
2.例题讲解
例 1]把下列完全平方式分解因式：
2
1)x +14x+49;
2
2)( m+n) 2— 6( m +n) +9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分 解因式 . 公式中的 a,b 可以是单项式，也可以是多项式 .
解：( | 2 2 2 2 (1) x +14x+49=x +2X7 x+7 = (x+7) |
( 2) | 2 2 2 2 (m+n) — 6 (m +n) +9= ( m +n) — 2 •( m +n) X 3+3 = [( m +n)— 3] = (m |
+n— 3)
［例 2］把下列各式分解因式：
22
( 1) 3ax +6axy+3ay ;
( 2)— x2— 4y2+4xy.
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观 察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“ +”号时，可以先提取“—
号，然后再用完全平方公式分解因式
22
解：( 1) 3ax2+6axy+3ay 2
22
=3a( x +2xy+y )
=3a( x+y ) 2
22
( 2)— x — 4y +4xy
=—( x2— 4xy+4y 2)
22
=—[x — 2 • x ・2y+ (2y):
=—( x— 2y)
川.课堂练习
a. 随堂练习
1.解：( 1)是完全平方式
x2— x+l=x2 — 2・ x • 1+ ( 1) 2= ( x— 1 ) 2
4 2 2 2
(2)不是完全平方式，因为 3ab不符合要求•
(3)是完全平方式
1 2 2
m+3 m n+9n
4
1m ) 2+ 2X 1 m X3n+ ( 3n ) 2
22
1m +3n ) 2
2
(4)不是完全平方式
2 2
2.解：(1) x — 12xy+36y
2 2
=x — 2 • x ・6 y+ (6y)
=(x — 6y ) 2;
4 2 2 4
(初二数学下册2 ) 16a +24a b +9b
2 2 2 2 / 2、 2
=(4a ) +2 a ^3 b + (3b
2 2 2
=(4a +3b)
(3)— 2xy — x2—y2
2 2
=—(x +2xy+y )
2
=—(x+y);
(4) 4— 12 ( x— y) +9 (x — y) 2
2
=2 — 2X 2X 3 ( x — y) + :3 (x — y):
2
=[2 — 3 (x— y)]
=(2—3x+3y) 2
b.补充练习
投影片(§ 4.3.2 B )
把下列各式分解因式:
2 2
(1)4a — 4ab+b ;
2 2 2
(2)ab+8abc+16c;
(3)( x+y) 2+6 (x+y) +9;
(4)
2
m
144
mn 2 一+n ;
6
(5) 4 (2a+b) 2— 12 (2a+b) +9;
(6)
1 2 4
_x y— x —
5
2
y
100
解:
2 2
(1)4a — 4ab+b = (2a)
2 2
—2 ・2 a • b+b = (2a— b)
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