华师大版八年级下册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】
【403986 分式的概念和性质知识要点】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常
数，不是字母，如a
π
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
不能先化简，如
2
x y
x
是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，
不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
初二数学下册2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分
式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M
B B M B B M
⨯÷
==
⨯÷
，（其中M是不等于零的整式）.
要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中
字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，
字母x 的取值范围变大了.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a
-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b
-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母
再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是
分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与
分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解
因式，然后再最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则
是针对多个分式而言.
【典型例题】
类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ 2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23
-． 【思路点拨】3x ，5π，23-虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中5π
的分母中π表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．
【答案与解析】
解：整式：3x ，23-，5π，23x +，分式：2a
，1m m +，2
a a ． 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不
含有字母则不是分式．
类型二、分式有意义，分式值为0
2、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？
（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239
m m --． 【答案与解析】
解：（1）由20m +=得2m =-，
故当2m ≠-时分式
2
m m +有意义． （2）由||20m -=得2m =±，
故当2m ≠±时分式1||2
m -有意义． （3）由229(9)0m m --=-+<，即无论m 取何值时29m --均不为零，故当m 为任意实数时分式239m m --都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法．
举一反三：
【变式1】（2016·丹东一模）若分式11
x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】
解：由题意得：10x +≠，解得1x ≠-，故答案为：1x ≠-．
【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．
（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224
x x +-． 【答案】
解：（1）由210x +=得12
x =-， 当12x =-时，1323()202
x -=⨯--≠， ∴ 当12x =-时，分式2132
x x +-的值为0． （2）由20x x +=得0x =或1x =-，
当0x =时，21010x -=-≠，
当1x =-时，221(1)10x -=--=，
∴ 当0x =时，分式221
x x x +-的值为0． （3）由20x +=得2x =-，
当2x =-时，224(2)40x -=--=，
∴ 在分式有意义的前提下，分式224x x +-的值永不为0． 类型三、分式的基本性质 3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数． （1）0.20.020.5x y x y +-； （2）11341123
x y x y +-． 【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可．
【答案与解析】
解：（1）0.20.020.5x y x y +-(0.2)501050(0.020.5)50
25x y x y x y x y +⨯+==-⨯-． （2）11341123x y x y +-111243341164122
3x y x y x y x y ⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭. 【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.
举一反三：
【变式1】如果把分式y
x x 232-中的y x ，都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍
【答案】B ；
【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．
（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c
--=----． 【答案】2()x y -；1；
解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y +，而等式的右边分式的分子为22x y -，由于22
()()x y x y x y +-=-，即将等式左边分式的分子乘以x y -，因而分母也要乘以x y -，所以在？处应填上2()x y -．
（2）先观察分母，等式左边的分母为()()()a c a b b c ---，等式右边的分母为a c -，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()a b b c --，因为()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=，所以在？处填上1．
4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．
（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b c
--． 【答案与解析】
解：（1）22a a b b -=- （2）4455x x y y -=- （3）33m m n n =-- （4）2233b b c c
-=-． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不
变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 类型四、分式的约分、通分
5、（2015春•东台市月考）约分，通分：
（1）
； （2）； （3）
•．
【思路点拨】
（1）把分子与分母进行约分即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可；
（3）把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案．
【答案与解析】
解：（1）
=﹣； （2）
=
=
； （3）
• = • = ． 【总结升华】此题考查了分式的约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，注意先把分母因式分解，再进行约分．
举一反三：
【403986 分式的概念和性质 例6（2）】
【变式】通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211
x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22
x -．
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