基本内容  一元一次方程的解法及应用
知识精要
一、一元一次方程定义及解法:
1、一元一次方程的有关概念
1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程。
2)一元一次方程的标准形式是:                             
3)一元一次方程的最简形式:                               
注意:
①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形为最简形式或标准形式来验证.如方程是一元一次方程.如果不变形,直接判断就出会现错误。
②方程与方程是不同的,方程的解需要分类讨论完成。
2、等式的基本性质:
1)等式的两边同时加上(或减去)                    ,所得结果仍是等式。
2)等式的两边同时乘以        或除以            ,所得结果仍是等式。
3解一元一次方程的基本步骤:
1)去分母:在方程的两边都乘以各分母的         
    注意:不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号。
2)去括号:一般地,先去        ,再去        ,最后去       
    注意:不要漏乘括号里的项,不要弄错符号。
3)移项:把含有      的项都移到方程的一边,              移到方程的另一边。
    注意:移项要变号;不要丢项。
4)化为最简形式:把方程化成        的形式。
    注意:字母和其指数不变。
5)系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数),得到方程的解
    注意:不要把分子、分母搞颠倒。
2、一元一次方程的应用:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤
  1)审题:读懂题意,弄清题目中的数量关系;
  2)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子;
  3)出等量关系:出能够表示本题含义的相等关系;
  4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值;
  5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,写出结论且注意单位。
2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:
1)和差倍分问题
  增长量=原有量×增长率    现在量=原有量+增长量
2)数字问题
    一般可设个位数字为,十位数字为,百位数字为
    十位数可表示为 百位数可表示为
    然后抓住数字间或新数、原数之间的关系等量关系列方程。
3)市场经济问题
  商品利润=商品售价-商品成本价
  ②商品利润率=×100%
  ③商品销售额=商品销售价×商品销售量
  ④商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
  ⑤商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。
4)行程问题
路程=速度×时间  时间=路程÷速度  速度=路程÷时间
      ①相遇问题:  快行距+慢行距=原距
      ②追及问题:  快行距-慢行距=原距
      ③航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
                逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
    抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系。
  (5)工程问题 
工作量=工作效率×工作时间   
    完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
  (6)储蓄问题
    利润=×100%    利息=本金×利率×期数
热身练习
1、下列方程中,一元一次方程一共有(  A  ).
    ;②;③;④
    A1        B2            C3            D4
2、给出下面四个方程及其变形:
;②
;④
其中变形正确的是(  D  )
A.①③④ B.①②④        C.②③④        D.①②③
3、代数式的值等于1时,的值是(  B  .
A3        B1      C、-3        D、-1
3、下列方程以零为解的是(  D  ).
A0.3x-45.7x+1.        B
C0.    D1-3x-(4x+2)-3 〕}=0.
4已知代数式的值互为相反数,那么的值等于(  D  .
A.        B.          C.        D.
5、根据下列条件,能列出方程的是(  B  .
A.一个数的2倍比小3      B.1的差的
C.甲数的3倍与乙数的的和
  D.的和的
6、一份数学试卷,只有25个选择题,做对一题得4分,做错一题倒扣1分,某同学做了全部试卷,得了70分,他一共做对了(  C  .
  A.17            B.18          C.19              D.20
7、某商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,每件都以135元出售,若按成本计算,其中一件赢利25%,另一件亏本25%,在这次买卖中,该商贩(  C  .
    A.不赔不赚        B.9        C.18            D.18
8、哥哥有存款300元,弟弟有存款120元,若从下月起哥哥每月存款100元,要想在5个月后两人的存款数相等,那么弟弟每月应存款( C )
  A100元      B160元      C136元          D125
9、已知是关于的一元一次方程,那么___1____.
10、方程的标准形式为_________.
11、当______时,的值等于-的倒数.
12、方程与方程的解一样,则____-21____.
13、某商品的进价是500元,标价为750元,商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打____折出售此商品.
14、某县城为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段计费方式收取水费:若每月用水不超过7立方米,则按每立方米1元收费;若每月用水超过7立方米,则超过部分按每立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费,那么这户居民今年5月的用水量为____12____立方米 .
15、解方程:
1              2.
解:                                    解:
16一艘船从A港到B港顺流行驶,用了5小时;从B港返回A港逆流而行,用了7.5小时,已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的速度
解:设静水中的船速度为千米/小时。则可列方程
           
        解得 
 
答:略
精解名题
1某七年级学生在做作业时,不慎将墨水瓶打翻,使一道作业题只看到如下字样:“甲、乙两地相距40千米,摩托车的速度为45千米/小时,运货汽车的速度为35千米/小时,      ?”(涂黑部分表示补墨水覆盖的若干文字),请将这道作业题补充完整,并列方程解答.
参考:老师学生自己讨论.
2小赵和小王交流暑假中的活动,小赵说:“我参加科技夏令营,外出一个星期,这七天的日期数之和是84,你知道我是几号出去的吗?”小王说:“我假期到舅舅家去住了七天,日期数的和再加月份数也是84,你能猜出我是几月几号回家的?”试试看,列出方程,解决小赵与小王的问题.
解:小赵是9号出去的,小王是7月15号回家的(提示:可设七天的中间一天日期数是x,则其余六天分别为x3x2x1x+1x+2x+3,由题意列方程,易求得中间天数,对小王的情形,由于七天的日期数之和是7的倍数,因为847的倍数,所以月份数也是7的倍数,可知月份数是7,且在8号至14号在舅舅家.故于715号回家.
3铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?
  分析:本题属于追及问题,行人的速度为3.6千米/=1/秒,骑车人的速度为10.8千米/=3/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x/秒,那么火车的车身长度可表示为(x-1)×22或(x-3)×26,由此不难列出方程。
  解:设这列火车的速度是x/秒,依题意列方程,得
  (x-1)×22=x-3)×26
  解得x=14。所以火车的车身长为
  (14-1)×22=286(米)。
答:这列火车的车身总长为286米。
4、一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了的时间走上坡路,然后用了的时间走下坡路,最后用了的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离.
解:设汽车从甲到乙所用时间为3x小时,依题意
,,解得x=5,
故甲、乙两地的距离为40x+50x+45x=135x=675(千米).
备选例题
1、某公路干线上,分别有两个小站A和B,AB两站相距63千米,A站有一辆汽车其最大时速为45千米/小时,B站有一辆汽车其最大时速为36千米/小时.如果两车同时同向分别以最大时速从两站开出.求经过多长时间后,两车相距108千米.
  解: 设经过x小时后,两车相距108千,依题意,45x-(36x+63)=108(沿AB方向)  (45x+63-36x=108+63)(沿BA方向).解得x=19x=5.
:若沿AB方向出发,19小时后,两车相距108千米;若沿BA方向出发,5小时后,两车相距108千米.
例2、某物流公司,要将300吨物资运往某地,现有AB两种型号的车可供调用,已知A型车每辆可装20吨,B型车每辆可装15吨,在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完,问:在已确定调用5A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆?
 
    解:设还需要B型车a辆,由题意得
          20×5+15a300
                15a200
                  a40/3
            解得a131/3 .
  由于a是车的数量,应为正整数,所以x的最小值为14.
      答:至少需要14B型车.
巩固练习
1指出下列方程中的未知数是什么,方程的左边是什么,方程的右边是什么?并且判断它是否是一元一次方程?
1;(是)                  2 (不是)
3;(不是)              4;(不是)
5  (是)                6;(是)
7.(是)
2、若方程3x51与方程有相同的解,则的值等于  2   
3、已知    -1   
4、一次买10斤鸡蛋打八折比打九折少花2元,则这10斤鸡蛋的原价是  20  元.
5、某商品标价1375元,打8折(按标价的80%)售出,仍可获利10%,则该商品的造价是  1000    元.
6、某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度是每小时六年级下册数学教案8千米,水流速度是每小时2千米,若AC两地距离为2千米,则AB两地之间的距离是    12.5千米 
7、某人从A地出发,先上山,再下山到B地共走0.4千米,再由B地顺原路返回,已知上山速度为千米/时,下山速度为千米/时,那么从A地到B地再回到A地所用时间是        小时.
8下列方程是一元一次方程的是(  C 
        A            B
        C            D
9、解方程(x-1)=3,下列变形中,较简捷的是     ( B )
  A.方程两边都乘以4,得3x-1=12
  B.去括号,得x-=3
  C.两边同除以,得x-1=4
D.整理,得
10是关于的一元一次方程,且该方程有惟一解,则  C 
        A                    B
  C                                    D
11、若互为相反数(),则的根是(  A  .
    A.1              B.1              C.1或-1        D.任意数
12、甲、乙、丙三人共捐款611元支援山区,甲比乙多25元,比丙少36元,则丙捐款数为                           ( C )
  A200元  B175元  C236元  D218
13、为了从500只外形相同的鸡蛋中到唯一的一只双黄蛋,检查员将这些鸡蛋按1500的顺序排成一列,第一次先从中取出序号为单数的蛋,发现其中没有双黄蛋,他将剩下的蛋的原来位置上又按1250编号(即原来的2号变为1号,原来的4号变成2号,…,原来的500号变成250号)。又从中取出新序号为单数的蛋进行检查,任没有发现双黄蛋,……,如此下去,检查到最后的一个是双黄蛋,问这只双黄蛋最初的序号是     ( C )
  A.48         B.250           C.256           D.500
14、解方程
  1                2 
    解:                                        解:
15、某体育场的环形跑道长400米,甲、乙二人在跑道上练习,甲平均每分钟跑250米,乙平均每分钟跑290米,现在两人同时从同地同向出发,经过多长时间两从才能再次相遇?
    解:设经过分钟后相遇,
         
      解得
答:略
16 如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?
  分析:这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。
  解:设追上甲时乙走了x分。依题意,甲在乙前方
  3×90=270(米),
  故有
  72x65x+270
 
  由于正方形边长为90米,共四条边,故由
 
  可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。
  答:当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。
自我检测
1、在方程,中,是一元一次方程的有(  B  )个.
A 2        B 3        C 4        D
2 方程1-去分母得            ( C )
  A1-2(2x-4)=-(x-7)     B6-2(2x-4)=-x-7
C6-2(2x-4)=-(x-7)     D.以上答案均不对
3、方程是一元一次方程,则等于(  A  ).
A        B      C        D
4、若关于的方程是一元一次方程,则的取值是(  B  ).
A      B
C      D
5x=1是方程(  D  )的解.
A-                  B
C2{3[4(5x-1)-8]-2}=8                D4x+=6x+
6、一件衣服标价132元,若以9折降价出售,仍可获利10%,则这件衣服的进价是(  D  .
    A.106            B.105        C.118        D.108
7、一条山路,某人从山下往山顶走3小时还1千米才到山顶,若从山顶走到山下只用150分钟,已知下山速度是上山速度的15倍,求山下到山顶的路程.设上山速度为x千米/分钟,则所列方程为(  D  )
Ax1=5(15x)                                     B3x+1=150(1.5x)
C3x1= (15x)                                    D180x+1=150(1.5x)
8、一项工程甲独做10天完成,乙的工作效率是甲的2倍,两人合做了m天未完成,剩下的工作量由乙完成,还需的天数为(  D )
A1-(1 +)m                                      B5 m
C m                                             D.以上都不对
9、若23-ax-4=5是关于x的一元一次方程,则a    3.
10、关于x的方程ax=3的解是自然数,则整数a的值为:            .
11已知方程是一元一次方程,则  -2      1   
12、当m=      时,方程的解为0.
13、已知a0.则关于x的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x的解为            .
14、假定每人的工作效率都相同,如果个人天做个玩具熊,那么个人做个玩具熊需要______天.
15、甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步,已知甲每秒钟跑9米,乙每秒钟跑7米.
(1)当两人同时同地背向而行时,经过____25______秒钟两人首次相遇;
(2)两人同时同地同向而行时,经过_____200_____秒钟两人首次相遇.
16、解下列方程
1      2[ ()-4]=x+2;
  解:                              解:
17、甲、乙两人骑车分别从A,B两地相向而行,已知甲、乙两人的速度比是23,甲比乙早出发15分钟,再经过1小时45分钟遇见乙,此时甲比乙少走6千米,求甲、乙两人骑车的速度和AB两地的距离?
            解:设甲的速度为,则乙的速度为,则可列方程
                   
                    解得  所以AB两地距离为千米
答:略