4.4.3  不同函数增长的差异
教学目标：
1.结合具体函数图像，总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.
2.通过图像，了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义，达到直观想象核心素养水平二的要求.
教学重点：研究一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
教学难点：函数增长快慢的因素.
教学过程：
（一）新课导入
在前面的学习中我们发现一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异。事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.
因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.
下面我们就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
探究一：一次函数与指数函数增长的差异
提问：
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗?
教师引导学生解决问题.
不妨以函数和为例.画出两个函数的图像，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
教师引导学生填表：
x
0
1
0
0.5
1.414
1
1
2
2
1.5
2.828
3
2
高中数学教案
4
4
2.5
5.657
5
3
8
6
….
….
….
在同一直角坐标系中画出函数图像如下：
师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同?
师生合作观察研究函数和的增长快慢.
虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”.随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，尽管在x的一定变化范围内，会小于2x，但由于的增长最终会快于的增长，于是，总会存在一个x0,当x﹥ x0时，恒有﹥2x.
师生合作总结一次函数和指数函数增长方式的差异.
一般地，指数函数（a>1）与一次函数y=kx（k>0）的增长差异都与上述情况类似.即使k的值远远大于a的值，（a> 1）的增长速度最终都会大大超过y=kx（k>0）的增长速度.
探究二：一次函数与对数函数增长的差异
提问：
选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗?
教师引导学生解决问题.
不妨以函数和为例.画出两个函数的图像，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
教师引导学生填表：
x
0
不存在
0
10
1
1
20
1.301
2
30
1.477
3
40
1.602
4
50
1.699
5
60
1.778
6
….
….
….
在同一直角坐标系中画出函数图像如下：
师生合作观察研究函数和的增长快慢.
虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数的增长速度不变，而的增长速度在变化.随着x的增大，函数的图像越来越平缓，像与x轴平行一样.函数的图像离x轴越来越远.
师生合作总结一次函数和对数函数增长方式的差异.
一般地，虽然对数函数（a>1）与一次函数y=kx（k>0）在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数y=kx（k>0）保持着固定的增长速度，而对数函数（a>1）的增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但是由于的增长慢于kx的增长，于是，总会存在一个x0,当x﹥ x0时，恒有﹤kx.
（三）课堂练习
例1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图像，并比较他们的增长情况.
；
.
教师引导学生画出正确的图像.
由图象可以得到，函数以“爆炸”式的速度增长；函数y=20lnx+100增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数y=20x以稳定的速度增长.
（四）小结作业
本节课我们主要学习了哪些内容?
1.指数函数与一次函数增长方式的差异.
2. 对数函数与一次函数增长方式的差异.
板书设计：
1.指数函数与一次函数增长方式的差异.
2. 对数函数与一次函数增长方式的差异.