复习课: 等差数列
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一、【考纲展示】
教学目标:
2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法..
难点:理解等差数列与一次函数的关系,前n项和最值问题
能力点:结合等差数列性质考查分类讨论,化归与方程思想.
教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构.
自主探究点:公式性质的探究及运算能力的培养.
易错点:在研究等差数列前n项和最值问题时,序号的确定.
学法与教具
1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:多媒体.
二、【考点梳理】
1.等差数列:
(1).等差数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
符号表示:an+1-an=d(常数)(n∈N*)
(2).等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(3).等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an,则Sn=,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+d.
(4).等差中项
如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.
2.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,
则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
三、【范例导航】
考点一:等差数列的判定与证明
例1、已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
求证:数列{bn}是等差数列;
【分析】: 要证明数列是等差数列可根据定义证明
根据数列地推公式可以写出,,代入即可验证。
【解】 ∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=,
∴bn+1-bn=-=-=-=1.
又b1==-.
∴数列{bn}是以-为首项,以1为公差的等差数列.
变式训练:
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0
(n≥2),a1=.
求证:{}是等差数列;
证明:∵an=Sn-Sn-1(n≥2),
又an=-2Sn·Sn-1,
∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,∴-=2(n≥2).
又==2,
故数列{}是以2为首项,以2为公差的等差数列.
【点评】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法:
【设计意图】:通过具体实例让学生理解等差数列的概念,掌握等差数列的证明。
考点二:等差数列的基本运算
求:数列的通项公式
【分析】:根据等差数列的通项公式和前n项和公式分别表示,;,再根据已知条件列方程组求解
【解】由S4=4S2,a2n=2an+1得:
∴
解得a1=1,d=2.
因此an=2n-1(n∈N*)
变式训练:
(2012·高考)已知等差数列的前5项和为105,且
求数列的通项公式;
【解】设数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,
由S5=105,a10=2a5,
得
解得a1=7,d=7.
因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).
【点评】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量,知三求二,体现方程思想的应用.
2.是等差数列的两个基本量,结合数列的通项公式和前n项和公式,用它们表示已知和未知是常用方法,称为基本量法.
【设计意图】:通过具体问题,分析等差数列通项公式及前n项和中的五个量,已知什么?求什么?怎么求?提高学生分析问题,解决问题的能力。
考点三、等差数列的性质
例3:(2012·辽宁高考)在等差数列中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( )
A.58 B.88 C.143 D.176
【分析】:S11===88.
【答案】:B
变式训练:
在等差数列{an}中,已知log2(a5+a9)=3,则等差数列{an}的前13项的和S13=________.
【答案】:∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=23=8.
∴S13====52.
【点评】在等差数列{an}中,若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质.
【设计意图】:利用等差数列性质解题,提高学生灵活解题的能力。
四、【高考体验】
等差数列在每年的高考中均有所涉及,主要考查等差数列的通项公式、前n项和及等差数列的性质,各种题型均有可能出现,一般有一个小题或在解答题中出现,在解题时,应熟练掌握通项公式与前n项和公式,规范答题
例:(湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为-3 ,前三项的积为8.
求:等差数列{an}的通项公式;
【解】:设等差数列{an}的公差为d,
则a3=a2+d,a1=a2-d,
因为等差数列{an}前三项的和为-3,所以a2=-1,
则a3=-1+d,a1=-1-d,
由题意得(-1+d)(-1-d)(-1)=8 2分
解之得或
所以由等差数列通项公式可得
an=2-3(n-1)=-3n+5,
或an=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5,或an=3n-7. 5分
【设计意图】:准确把握高考命题方向,让学生明确等差数列在高考中的考点,如何考以及如何规范答题,不失分。
五、【归纳小结】
1.两个公式
等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d.
等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d.
2.一种方法+一种思想
(1).基本量法:等差数列的通项公式,前n项和公式涉及“五个量”,“知三求二”
(2).方程思想:借助通项公式和前n项和公式列方程组求解
六、【达标检测】
1.(辽宁高考)在等差数列{an}中,a4+a8=16,则a2+a10=( )
A.12 B.16 C.20 D.24
【解析】 ∵{an}是等差数列,∴a2+a10=a4+a8=16.
【答案】 B
2.(2014·潍坊模拟)已知{an}是等差数列,且a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是( )
A.4 B.14
C.-4 D.-14
【解析】 因为a3+a9=4a5,所以根据等差数列的性质可得:a6=2a5,所以a1+5d=2a1+8d,即a1+3d=0,又a2=-8,即a1+d=-8,所以公差d=4.
【答案】 A
3.(2013年高考重庆卷(文)若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a____________.
【解析】∵2,a,b,c,9成等差数列,设公差为d
∴9=高中数学教案2+4d,则d=,∴c-a=2d=
答案:
六、【布置作业】
必做题:P76 1,2,3题
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