复习课: 等差数列
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一、【考纲展示】
教学目标：
2.掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．.
难点：理解等差数列与一次函数的关系，前n项和最值问题
能力点：结合等差数列性质考查分类讨论，化归与方程思想.
教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.
自主探究点：公式性质的探究及运算能力的培养.
易错点：在研究等差数列前n项和最值问题时，序号的确定.
学法与教具
1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：多媒体.
二、【考点梳理】
1.等差数列：
（1）．等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
符号表示：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)
（2）．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
（3）．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
（4）.等差中项
如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
2．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
三、【范例导航】
考点一：等差数列的判定与证明
例1、已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
求证：数列{bn}是等差数列；
【分析】: 要证明数列是等差数列可根据定义证明
根据数列地推公式可以写出,,代入即可验证。
【解】 ∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
变式训练:
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0
(n≥2)，a1＝.
求证：{}是等差数列；
证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．
又＝＝2，
故数列{}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
【点评】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法：
【设计意图】：通过具体实例让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的证明。
考点二：等差数列的基本运算
求：数列的通项公式
【分析】:根据等差数列的通项公式和前n项和公式分别表示，；，再根据已知条件列方程组求解
【解】由S4＝4S2，a2n=2an+1得：
∴
解得a1＝1，d＝2.
因此an＝2n-1(n∈N*)
变式训练:
(2012·高考)已知等差数列的前5项和为105，且
求数列的通项公式；
【解】设数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
由S5＝105，a10＝2a5，
得
解得a1＝7，d＝7.
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．
【点评】
1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，知三求二，体现方程思想的应用．
2．是等差数列的两个基本量，结合数列的通项公式和前n项和公式，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
【设计意图】：通过具体问题，分析等差数列通项公式及前n项和中的五个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题，解决问题的能力。
考点三、等差数列的性质
例3：(2012·辽宁高考)在等差数列中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )
A．58 B．88 C．143 D．176
【分析】：S11＝＝＝88.
【答案】：B
变式训练:
在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________.
【答案】：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.
∴S13＝＝＝＝52.
【点评】在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质．
【设计意图】：利用等差数列性质解题，提高学生灵活解题的能力。
四、【高考体验】
等差数列在每年的高考中均有所涉及，主要考查等差数列的通项公式、前n项和及等差数列的性质，各种题型均有可能出现，一般有一个小题或在解答题中出现，在解题时，应熟练掌握通项公式与前n项和公式，规范答题
例：(湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3 ，前三项的积为8.
求：等差数列{an}的通项公式；
【解】：设等差数列{an}的公差为d，
则a3＝a2＋d，a1＝a2－d，
因为等差数列{an}前三项的和为－3，所以a2＝－1，
则a3＝-1＋d，a1＝-1－d，
由题意得(-1+d)(-1-d)(-1)=8 2分
解之得或
所以由等差数列通项公式可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，
或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. 5分
【设计意图】：准确把握高考命题方向，让学生明确等差数列在高考中的考点，如何考以及如何规范答题，不失分。
五、【归纳小结】
1.两个公式
等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2.一种方法+一种思想
（1）.基本量法：等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”
（2）.方程思想：借助通项公式和前n项和公式列方程组求解
六、【达标检测】
1．(辽宁高考)在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【解析】 ∵{an}是等差数列，∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.
【答案】 B
2.(2014·潍坊模拟)已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是( )
A．4 B．14
C．－4 D．－14
【解析】 因为a3＋a9＝4a5，所以根据等差数列的性质可得：a6＝2a5，所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0，又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4.
【答案】 A
3.（2013年高考重庆卷（文）若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a____________.
【解析】∵2,a,b,c,9成等差数列，设公差为d
∴9＝高中数学教案2+4d,则d＝，∴c-a=2d=
答案:
六、【布置作业】
必做题：P76 1,2,3题
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