3.3 幂函
教材分析：
本课时内容是幂函数，幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数与其他基本的初等函数经过运算、复合得到的．幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数．在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，，，等都是学生很熟悉的.因此幂函数的学习是建立在学生已有的函数学习经验上的，学习中主要体现的数学抽象是在归纳五个具体函数共性基础上进行的．
“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（定义、表示——图象与性质——应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究，因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础．
学情分析：
学生在初中已经学习过一些具体的幂函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生尝试建构本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法．
画出，的图象会有一定难度．教学时应该先引导学生观察函数解析式的特点，得出是奇函数，的定义域为非负数的集合等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质.同时，还要加强信息技术的应用．
在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函数的一般方法及所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳做好铺垫．
基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个具体幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容和方法．
教学目标：
1.通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质；
2.通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法．
教学过程：
（一）幂函数定义的抽象
问题1：我们知道函数可以用来刻画现实世界中的实际问题，请看下面几个例子：
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=，这里S是a的函数；
（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=，这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数；
（5）如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v km/s，即v=，这里v是t的函数．
观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？
师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题．根据学生的回答，教师进行必要的补充．最后明确指出：这几个函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
教师给出幂函数的定义，并进行板书．
追问（1）：这几个函数中有没有你熟悉的函数？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答．p=w，S=，v=分别是初中学习过的一次函数（正比例函数）、二次函数和反比例函数的特殊情况，这种形式的函数称为幂函数．
追问（2）：能否根据幂函数的定义将上述五个问题中对应的幂函数写出来？
师生活动：学生思考后回答，教师根据学生回答的幂函数的解析式写出来，并进行纠错．
追问（3）：你能说出幂函数解析式的特征吗？判断下面几个函数是否为幂函数，并说出理由．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
师生活动：学生思考后回答，并阐述原因，教师根据学生的回答进行评价和强调：底数是自变量，自变量的系数为1，指数为常数，幂的系数为1，解析式等号右边只有一项．根据幂函数的定义（1）（2）（6）是幂函数，（3）（4）（5）不是幂函数．
设计意图：通过学生熟悉的实际问题引出幂函数；通过追问（1）使学生建立幂函数与之前已学函数的联系；追问（2）引导学生抓住幂函数的解析式的形式特点；追问（3）使学生对幂函数的定义加以辨析应用，强化理解．
（二）幂函数的图象与性质
问题2：我们知道了什么是幂函数，结合以往的学习经验，我们应该研究些什么呢？
师生活动：学生回答，教师在学生回答的基础上进行补充，最后得出：根据我们学过的函数知识，应该研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容．
追问：如何研究幂函数的这些性质呢？
根据学生交流讨论情况，教师可以适时地引导归纳，得到：根据初中学习函数的经验，可以先用描点法画出函数图象，再观察图象得到函数的性质.在画图过程中也可以利用解析式来帮助我们简化画图过程．
设计意图：引导学生回顾已有经验，得出研究函数的一般内容和方法．
问题3：这五个幂函数中，，的图象是我们熟悉的，如何画出和的图象呢？
追问：观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？
师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过解析式可以得到函数的定义域和奇偶性，定义域是R，是奇函数；定义域是非负实数组成的集合，既不是奇函数也不是偶函数，可以通过这些性质简化作图的过程．
学生利用描点法进行作图，在一个平面直角坐标系中画出五个幂函数的图象，教师利用信息技术进行画图并演示．
设计意图：引导学生体会研究一类函数的一般方法．其中，让学生先观察和的解析式特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质进行初步判断，可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映出函数的性质特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．
问题4：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？
函数 | |||||
定义域 | R | R高中数学教案 | R | ||
值域 | R | R | |||
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
单调性 | 增 | 增 | 增 | ||
师生活动：学生观察思考后回答，教师引导补充并将这些性质填入表格中．
追问：再观察这五个幂函数的图象上是否有某些特殊点可以体现出它们的共同特点？在第一象限内函数图象还有什么变化趋势？
师生活动：学生观察思考后回答，教师引导得到结论：五个函数的图象都过点（1，1），在第一象限内函数的图象“当x越来越大时，图象无限靠近x轴，当x趋于0时，函数图象无限靠近y轴”．
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