5.6.1  匀速圆周运动的数学模型
教学目标：
1．了解函数高中数学教案y＝Asin(ωx＋φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模素养．
2．掌握参数ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，理解参数ω，φ在圆周运动中的实际意义，掌握这个函数的性质，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养．
教学重点：用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；参数ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．
教学难点：将实际问题抽象为数学问题的过程；通过实际意义理解参数φ，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．
教学过程：
（一）整体感知
引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用正弦函数加以刻画．对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
设计意图：承上启下，让学生感受到之前只是研究了一个特殊的问题，需要进一步研究一般的匀速圆周运动，从而明确目标，激发兴趣．
（二）新知探究
1．模型的建立
问题1：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）．
图1
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？
预设的师生活动：请学生叙述建模的构想．
追问：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
预设的师生活动：交流的过程中从圆周运动这个视角下进行整体分析：角速度、半径、初始位置、圆心角及建系，同时帮助学生抽象出相应的数学问题．
预设答案：如图2，相关的量有：设水车半径为r，水车中心距水面的高度为h；水车转动的角速度为ω；初始位置所对应的角φ；时间t；距离水面的相对高度H；变量t与H之间的等量关系是：H＝rsin(ωx＋φ)＋h．
设计意图：通过筒车模型引入和建立三角函数的数学模型，体现数学的实际价值，表示其上质点匀速圆周远动，引出这一课时的核心内容．
2．明确研究思路
问题2：我们从实际问题出发，抽象转化成一个数学问题，并建立了一个新的函数．根据研究指数函数、对数函数等函数的经验，你认为接下来应该研究什么？
预设的师生活动：通过教师的启发，与学生一起回顾．
预设答案：类比之前对函数的研究方法，接下来我们应该研究函数的图象与性质．回想一下，我们在“三角恒等变换”那一节中，已经纯粹地从形式上研究过它的性质，比如周期、单调性，所以接下来主要研究函数的图象，有了图象之后可以使我们更好地把握这个函数的性质．显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此关键是研究这些参数的变化对函数图象的影响．
设计意图：让学生清楚我们研究一个新函数的一般套路，得到函数解析式之后，需要研究其图象及性质，而此函数的性质在之前已通过代数方法进行过研究，因此，接下来的重点
自然就是先研究图象，进而利用图象直观地认识此函数的性质．
问题3：从解析式看，函数y＝sin x就是函数y＝Asin(ωx＋φ)在A＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形．
（1）能否借助我们熟悉的函数y＝sin x的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响呢？
（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)中含有三个不同参数，类比以往研究函数的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？
预设的师生活动：教师启发，学生回顾初中已学过的二次函数研究路径．
预设答案：类比对二次函数y=a(x－h)²+k图象用“控制变量法”的研究过程，具体的操作办法是：可以分别将其中的两个变量特殊化，研究另一个变量对图象的影响，最后，综合分析由一个特别简单的二次函数如何一步一步通过变换得到一个较复杂的二次函数图象的过程．
设计意图：挖掘学生已有经验，并帮助学生梳理清楚初中研究的二次函数y＝a(x－h)2＋k，一般思路和方法，并在此基础上形成本小节从特殊到一般的研究方法．
3．探究φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响．
问题4：观察当参数φ变化时，函数y＝sin(x＋φ)的图象有什么影响？
预设的师生活动：学生独立思考，然后回答大致思路：先取特殊值，进行观察，进而猜想出一般结论．
追问1：φ的不同值表示什么含义？结合筒车说明．
预设答案：在筒车例子中，φ的不同值表示是初始位置所对应的角不同．
追问2：如图3，如果在单位圆上将起点Q0绕O1旋转到Q1，让动点P1以Q1为起点，按照与P0一样的方式，运动到点P，需要多长时间？对应的函数y＝sin(x＋)图象上的点G的坐标是多少？
预设答案：在单位圆上，如果以Q0为起点的动点到达圆周上点P的时间为x s，那么以Q1为起点的动点相继到达点P的时间是（x－） s．点G的坐标是(x－，sin x)．
追问3：如上我们到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数y=sin x的图象得到函数y＝sin(x＋)的图象？
预设答案：函数y=sin(x+)图象可以看作是函数y=sinx图象上的所有点向左平移个单位后得到．
追问4：如果起点Q0绕O1旋转，，，对应的函数图象如何变化呢？
预设答案：分别可以看作是函数y=sin x图象上的所有点向右平移、向左平移、向右平移个单位后得到．
图3（2）
追问5：根据上面的研究，你能归纳出φ对函数y＝sin(x＋φ)图象影响的一般化结论吗？
结论：一般地，当动点M的起始位置Q对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ) (φ≠0)，把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个长度单位就得到y＝sin(x＋φ)的图象．
追问6：前面采用了怎样的研究方法呢？
预设答案：特殊化，画图、观察、猜想、验证，归纳出一般结论．
设计意图：具体探究，通过图像上一个点的变化微观地研究参数φ对函数y＝sin(x＋φ)图象变化的影响．并结合水车模型解释这种变化的实际意义．本环节是本课时的重点，借助信息技术并鼓励学生进行小组合作实验，探究参数φ对函数y＝sin(x＋φ)的影响．教师通过问题引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，提升直观想象和逻辑推理能力．