第五章  数列
一、基础知识
定义1  数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a}的一般形式通常记作a, a, a,…，a或a, a, a,…，a…。其中a叫做数13nn12n132列的首项，a是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 n定理1  若S表示{a}的前n项和，则S=a, 当n>1时，a=S-S.-1n1nn1nn w.w.w.k.s.
定义2  等差数列，如果对任意的正整数n，都有a-a=d（常数），则{a}称为等差数列，dnnn+1叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
定理2  等差数列的性质：1）通项公式a=a+(n-1)d；2）前n项和公式：1nn(a?a)n(n?1)n1?na?d；3）a-=Sa=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，mnn 122则a+a=a+a；5）对任意正整数p, q，恒有a-a=(p-q)(a-a)；6）若A，B至少有一个不1ppnqqm22+BnAn. 是等差数列的充要条件是Sn=为零，则{a}nan?1?q，则{，都有a}称为等比数列， q叫做公比。定义3  等比数列，若对任意的正整数nn ann)?qa(1n-11?；当=1时，）前n项和S，当qSa定理3  等比数列的性质：1）=aq；2nnn1 q?12?0)，则b叫做a, c的等比中项；4））如果a, b, c成等比数列，即bac=(b=q=1时，Sna；31n若m+n=p+q，则aa=aa。 qmpn?>0，存在M，对任意的n>M(n∈{a}和实数A，若对任意的N),都定义4  极限，给定数列n?lima?A. 的极限，记作n→+∞时数列{a}有|a-A|<，则称A为nnnn??定义5  无穷递缩等比数列，若等比数列{a}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数na1（由极限的定义可得）。 列，其前n项和S的极限（即其所有项的和）为n 1?q定理3  第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能0推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n成立。 0
竞赛常用定理．
定理4  第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(高中数学教案n)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自0然数n都成立时（k≥n）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n0≥n成立。 02=ax+b的两个根为α,对于齐次二阶线性递归数列x=ax+bx，设它的特征方程x定理5  -2nnn-1n-1n-1?，其中c, c由初始条件x, x的值确定；(2)，则βx=ca若α+cβ=β，则β:(1)若α222n111-1n，其中c, cx=(n+c) αc的值由x, x的值确定。 211221n二、方法与例题
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1  试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
12a, n≥1，求通项a+a,={a}满足a+a…+=na. 已知数列例2  n1n2n1n 2
1，求证：对任意n∈N,有+a=aa=1+满足}{<10< 例3 设a，数列aa, a>1. n-1nn+n an
迭代法。2 +1或前na数列的通项n换成n成立，因此可将其中的S项和N∈n通常是对任意n中的nn
等，这种办法通常称迭代或递推。n-1或?，使得，求证：存在常数，qc0+pa+qa=0, n≥3例4  数列{a}满足a-2nnn-1nn22.?0qa?cqpaa? a+·nn1nn?1?
21?24a. N都是整数，n∈，求证：=5例5  已知a=0, aaa++1nn+1nn
．数列求和法。3 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。1(n=1, 2, …)，求S=a=a+a+…+a.
例6 已知99n1299 n1002?4
111.??S+…  例7 求和：+ nn(n?1)(n?2)1?2?32?3?4
??an的前=1a=满足}{ 例8 已知数列aa，n, Sa+a=a项和，求证：S<2。 为数列??n+1+2nnnnn12 n2??
．特征方程法。4.
9 例a=6, -4=3, aa满足}，求a已知数列 {=4aann+1n+2n21n
. a，求通项aa=6, a=2a+3例10  已知数列{a}满足a=3, n2nn1n+2+1n
5．构造等差或等比数列。aa?aa=2a(n≥2)…满足且a=a=1，求通项。 a例11  正数列,a,…,a,
1n-100n12nn?1nn?2?
2x?2n例12  已知数列{x}满足x=2, x=,n∈N, 求通项。 +nn+11 2xn
三、基础训练题
1． 数列{x}满足x=2, x=S+(n+1)，其中S为{x}前n项和，当n≥2时，x=_________. n1nnn+1nn2x1n，x=,则{x}的通项数列2. {x}满足x=x=_________. n+1nn1n 23x?2n1x+2n-1(n≥2)，则{x}的通项x=_________. 3. 数列{x}满足x=1，x=nnn1n 1?n24. 等差数列{a}满足3a=5a，且a>0, S为前n项之和，则当S最大时，n=_________. nnn13185. 等比数列{a}前n项之和记为S,若S=10，S=70，则S=_________. 4030n10n6. 数列{x}满足x=x-x(n≥2)，x=a, x=b, S=x+x+…+ x，则S=_________. 100+12n-1n1nn2n1n2-4n+1则|a|+|a=a…++a=中，}{7. 数列aSa+n|+…+|a|=_________.
1021n21nn
xxxxn321???? =_________. ，则x+8. 若x+…+ x=8x，并且121n x?1x?3x?5x?2n?1n213Sa2nnn?lim9. 等差数列{a}，{b}的前n项和分别为，则S和=_________. T，若nnnn 1n?3Tb?n?nn22007?n?n1?n)?1(=_________.
n-1)…2·1, 则10. 若n!=n( !n1n?11．若{a}是无穷等比数列，a为正整数，且满足a+a=48, loga·loga+ loga·loga+ 52225n362n22??1的通项。，求 a·loga=36logloga·loga+ ??62562222 a??na}是公比为q的等比数列，且b=1, b=5, 数列12．已知数列{a}是公差不为零的等差数列，{21nbnb=17, 求：（1）q的值；（2）数列{b}的前n项和S。 nn3四、高考水平训练题
?11??x?x???? 22????17??+?x2x?1?1??，若数列{a}满足a=1．已知函数f(x，)=a=f(a)(n∈N)，?nn1+1n 32????(x1?1)x???=_____________.
a则20062．已知数列{a}满足a=1, a=a+2a+3a+…+(n-1)a(n≥2)，则{a}的通项n3nn2-111n1(n?1)?.
a=?n)2n?(?2??n的取值范围是是递增数列，则实数__________. 且{若a=n+a}, 3. nn11010+1）S+S=0S-（2，则Sa4. 设正项等比数列{}的首项a=, 前n项和为, 且210120n30n 2=_____________.
ann13lim?______________. a的取值范围是5. 已知，则 n1n?3?(a?1)3?n?+) ，存在_________个a值，使{a}成等差数列；存在∈nn+=3a满足}{．6数列aa( N________n+1n1nn个a值，使{a 成等比数列。}n1．
n?401+?a)，则在数列{a}的前7(n．已知 ∈N50项中，最大项与最小项分别是nn402?n____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9. 设{a}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, a与2的等差中项等于S与2的等比中nnn项，则a=____________.
n10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
?0，求证：数列{a}a}中，a成等差数列的充要条件是 11．已知数列{nnn11111????? （n≥2）①恒成立。 aaaaaaaaaan?12n3?31411n2bn?1(n≥2), 当a=p, b=q(=}中有a=ab, bp>0, q>0)且p+q=1时，和12．已知数列{a}{b1nnnn1nn-1 21?an?1anlimb. （1）求证：a>0, b>0且a+b3）求数列=1（n∈N）；（2）求证：a+1=；（nnnnn na?n?1?n13．是否存在常数a, b, c，使题设等式
n(n?1)2222(an+n·(n+1)=bn+c·12) +2·3…++ 12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
2，这样的数列共973，且各项和为1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于有_________个。
4x?21?n，则通项}满足x=1, x=x=__________.
2．设数列{xnn1n 2x?71?n253a?a，则通项>0=3, a，且a=__________.
}3. 设数列{a满足annn11nn?4. 已知数列a, a, a, …, a, …满足关系式(3-a)·(6+a)=18，且a=3，则0+1n01nn2n1?=__________.