第二章  函数
第一教时
教材：映射
目的：要求学生了解映射和一一映射的概念，为今后在此基础上对函数概念的理解打下基
础。 过程：
一、复习：以前遇到过的有关“对应”的例子
1︒ 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
2︒ 对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应。 3︒ 坐标平面内任意一点A  都有唯一的有序数对(x, y )和它对应。 4︒ 任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应。
二、提出课题：一种特殊的对应：映射
（1）            （2）            （3）            （4） 引导观察，分析以上三个实例。注意讲清以下几点：
1．先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④） 3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。 4．注意映射是有方向性的。
5．符号：f  ： A    B  集合A 到集合B 的映射。 6．讲解：象与原象定义。
再举例：1︒A ={1,2,3,4}  B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1      是映射        2︒A =N +  B ={0,1} 法则：B 中的元素x  除以2得的余数  是映射
3︒A =Z    B =N *    法则：求绝对值    不是映射（A 中没有象）
4︒A ={0,1,2,4}  B ={0,1,4,9,64}  法则：f  ：a      b =(a -1)2  是映射
三、一一映射
观察上面的例图（2） 得出两个特点：
1︒对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象
（单射）    2︒集合B 中的每一个元素都是集合A 中的每一个元素的象    （满射）
即集合B 中的每一个元素都有原象。
结论：（见P 48） 从而得出一一映射的定义。    例一：A ={a ,b ,c ,d }  B ={m ,n ,p ,q }          它是一一映射    例二：P 48
例三：看上面的图例（2）、（3）、（4）及例1︒、2︒、4︒ 辨析为什么不是一一映射。 四、练习 P 49
五、作业 P 49—50 习题2．1
《教学与测试》 P 33—34第16课
第二教时
教材：函数概念及复合函数
目的：要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。  过程：
一、复习：（提问）
1．什么叫从集合到集合上的映射？
2．传统（初中）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
二、函数概念：
1．重复初中时讲的函数（传统）定义：“定义域”“函数值”“值域”的定义。 2．从映射的观点定义函数（近代定义）：
1︒函数实际上就是集合A 到集合B 的一个映射 f ：A    B  这里 A , B  非空。    2︒A ：定义域，原象的集合
B ：值域，象的集合（
C ）其中C  ⊆ B
f ：对应法则  x ∈A    y ∈B
3︒函数符号：y =f (x ) —— y  是 x  的函数，简记 f (x ) 3．举例消化、巩固函数概念：见课本 P51—52
一次函数，反比例函数，二次函数    注意：1︒务必注意语言规范
2︒二次函数的值域应分 a >0, a <0 讨论
4．关于函数值 f (a )    例：f (x )=x 2+3x +1  则 f (2)=22+3×2+1=11    注意：1︒在y =f (x )中 f  表示对应法则，不同的函数其含义不一样。          2︒f (x )不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。          3︒f (x )与f (a )是不同的，前者为函数，后者为函数值。 三、函数的三要素：  对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？    1．3
)
5)(3(1+-+=
x x x y
52-=x y            解：不是同一函数，定义域不同
2。 111-+=x x y      )1)(1(2-+=x x y    解：不是同一函数，定义域不同    3。  x x f =)(          2
)(x x g =                    解：不是同一函数，值域不同
4．
x x f =)(          33
)(x x F =                    解：是同一函数
5．21)52()(-=x x f  52)(2-=x x f    解：不是同一函数，定义域、值域都不同  例二： P55  例三 （略） 四、关于复合函数
设 f (x )=2x -3  g (x )=x 2+2  则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。      f [g (x )]=2(x 2+2)-3=2x 2+1      g [f (x )]=(2x -3)2+2=4x 2-12x +11
例三：已知：f (x )=x 2
-x +3  求：f (
x
1
)  f (x +1)      解：f (x 1)=(x 1)2-x
1
+3
f (x +1)=(x +1)2-(x +1)+3=x 2+x +3
例四：课本P54 例一
五、小结：从映射观点出发的函数定义，符号f (x )
函数的三要素，复合函数
六、作业：《课课练》P48-50 课时2  函数（一） 除．
“定义域”等内容 第三教时
教材：定义域
目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。  过程： 一、复习：
1．函数的定义（近代定义）      2．函数的三要素
今天研究的课题是函数的定义域—自变量x 取值的集合（或者说：原象的集合A ）叫做函数y =f (x )的定义域。
二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。 例一、（P 54例二）求下列函数的
定义域：      1．2
1
)(-=
x x f                      2。 23)(+=x x f              解：要使函数有意义，必须：        解：要使函数有意义，必须：            02≠-x                            3x +2≥0            即 x  ≠ 2                          即 x ≥3
2-        ∴函数2
1
)(-=
x x f 的定义域是：      ∴函数23)(+=x x f 的定义域是：          {}2|≠x x                          ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-≥32|x x
3。x
x x f -+
+=21
1)( 解：要使函数有意义，必须：  ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x    ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21
x x
∴函数23)(+=x x f 的定义域是： {}21|≠-≥x x x 且      例二、求下列函数的定义域：    1．14)(2
--=
x x f                2．2
14
3)(2-+--=
x x x x f
解：要使函数有意义，必须：        解：要使函数有意义，必须：
142
≥-x                          ⎩⎨
⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131
40
210432x x x x x x x 且或      即： 33≤≤-x                  4133≥-≤<-->⇒x x x 或或 ∴函数14)(2
--=
x x f 的定义域为：  ∴函数2
14
3)(2-+--=
x x x x f 的定义域为：
{x  |33≤≤-x }              { x |4133≥-≤<-->x x x 或或} 3．=
)
(x f x
11111++
解：要使函数有意义，必须：  0111
101
10≠+
+≠+≠x x x    ⇒  2
1
10-≠-≠≠x x x
∴函数的定义域为：⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
--≠∈21,1,0|x R x x 且
高中数学教案
4．x
x x x f -+=
0)1()(
解：要使函数有意义，必须：  ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x  ⎩⎨
⎧<-≠⇒01
x x          ∴函数x x x x f -+=
0)1()(的定义域为：{}011|<<--<x x x 或
5。3
7
3132+++-=
x x y
解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x      ⎪⎩
⎪⎨⎧-
≠∈⇒37x R x            即 x <37- 或  x >37
-
∴函数37
31
32+++-=
x x y 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-≠∈37,|x R x x
例三、若函数a
ax ax y 1
2+
-=
的定义域是一切实数，求实数a  的取值范围。