多项式函数在某⼀点处的泰勒展开已知多项式p(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0.求它在x=x0处的泰勒展开.
解：不断地求导以及赋值，可知p(x)在x=0处的泰勒展开为
p(0)+p(0)′
1!x+
p(0)″
2!x2+⋯+
p(0)(n)
记住我n!x n
下⾯寻求p(x)在x=x0处的泰勒展开.采⽤的⽅法是.设n≥1((n=0)的情况没意思).则
p(x)=q0(x)(x−x0)+b0
(q_0(x)是⼀个多项式，且它的次数肯定不⼩于0)
假若此时q0(x)的次数等于0，则停⽌操作.否则
q0(x)=q1(x)(x−x0)+b1
则
p(x)=q1(x)(x−x0)2+b1(x−x0)+b0
再看q1(x)，假若q1(x)的次数等于0，则停⽌操作，否则
q1(x)=q2(x)(x−x0)+b2
则
p(x)=q2(x)(x−x0)3+b2(x−x0)2+b1(x−x0)+b0
这样⼦⼀直下去，我们知道q0(x),q1(x),q2(x),⋯的次数是递减的，因此迟早会停⽌.所以p(x)能表述成如下：
a n(x−x0)n+a n−1(x−x0)n−1+⋯+a1(x−x0)+a0
⽽且由中b0,b1,⋯的唯⼀性，我们能得到a n,a n−1,⋯,a1,a0的唯⼀性.
然后求导，赋值.求0次导，再令x=x0，可得a0=p(x0).求1次导，再令x=x0，可得a1=p′(x0).求2次导，再令x=x0，可得a2=p(2)(x0)
2!……这样
⼦依次求出各系数.
注1：以上⽤带余除法做其实显得⿇烦了，其实只⽤1平移⼀下就可以得到结果了.
注2:Elementary methods in number theory 中(如下)的整数的m-adic表⽰类似于多项式的泰勒展开.他们的基本原理其实都是⼀样的.
Processing math: 100%
Processing math: 100%