常州市教育学会学业水平监测
高三数学
1. 已知集合{}
2320,{ln 20}A x x x B x x =-+==-<∣∣, 则A B ⋂=
A. Ø {}.1B
{}.2C
D. {}1,2
2. 已知,a b 是平面内两个向量, 且0,0≠=“”a b 是=+“”a a b 的
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 函数()sin2tan f x x x =+的最小正周期是 A.
4
π B. 2
π C. π
D. 2π. 4. 已知随机变量()()26,,,X B p Y N μσ~~, 且()()()12,2
P Y E X E Y ≥==, 则p = A.
12
B. 13
C. 14
D. 16
5. 已知点(),1,3A B -是圆22:10C x y +=上两点, 动点P 从A 出发, 沿着圆周按逆时针方向走到B , 其路径长度的最小值为青少年禁毒知识
A. 4
C.
D.
捷运系统6. 已知20212021012021(1)x a a x a x -=+++L , 则系数012021,,,a a a ⋯中最小的是
A. 0a
B. 1010a
C. 1011a
D. 2021a
7. 小李在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电, 在购买一个月后的
2 月 1 日第一次还款, 且以后每月的 1 日等额还款一次, 一年内还清全部代款（ 2022 年 12 月 1 日最后一次还款）, 月利率为r . 按复利计算, 则小李每个月应还 A. 11
11(1)(1)1
ar r r ++-元 B. 12
12r(1)(1)1
a r r ++-元 C. 11
r(1)11
a r +元 D. 12
(1)12
ar r +元 8. 已知函数()1y f x =-图象关于点()1,0对称, 且当0x >时, ()()sin cos 0f x x f x x +>', 则下列
说法正确的是 A. 57666f f f π
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B. 75666f f f π
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
海珠湖东方红农耕博物馆C. 75666f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
睡前喝酸奶好吗D. 57666f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 如图, 用 4 种不同的颜, 对四边形中的四个区域进行着, 要求有公共边的两个区域不能用同一
种颜, 则不同的着方法数为
A. 3142
A A ⨯ B. 2244
A A ⨯ C. ()22
142A A ⨯
D. ()212224342C A C A ⨯+⨯
10. 已知数列{}n a 中, 1112,1n n n
a a a a ++==
-, 使12n a =-的n 可以是 A.2019
B.2021
C. 2022
D.2023
11. 已知函数()ln sin cos 4f x x x x π⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
, 下列说法正确的有 A. 函数()f x 是周期函数
B. 函数()f x 有唯一零点
C. 函数()f x 有无数个极值点
D. 函数()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不是单调函数
12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3a . , 点M 是棱BC 上的定点, 且2BM CM =. 点P 是
棱11C D 上的动点, 则 A. 当123
PC a =
时, PAM V 是直角三角形 B. 四棱锥 A 1-PAM 的体积最小值为232a C. 存在点P , 使得直线1BD ⊥平面PAM
2022立春D. 任意点P , 都有直线1//BB 平面PAM
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. i 是虚数单位, 已知复数z 满足等式
20z i i z
+=, 则z 的模z =________.
14. 已知α为第四象限角, 且tan 32
πα⎛⎫-
= ⎪⎝⎭, 则sin α=________. 15. 已知定义域都是R 的两个不同的函数()(),f x g x 满足()()f x g x '=, 且()()g x f x '=. 写出一
个符合条件的函数()f x 的解析式()f x =________.
16. 已知抛物线2
1:2C y px =的焦点与双曲线2
222:1(0)x C y a a -=>的右焦点F 重合, 抛物线1C 的准线与双曲线2C 的渐近线交于点,A B . 若三角形FAB 是直角三角形, 则p =, 双曲线2C 的离心率e =________.
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分)
某型号机床的使用年数x 和维护费y 有下表所示的统计资料:
附: 在线性回归方程$$y a bx =+$中, $212
1,()n
i n i i i i x y n b x x y a x
y x b n ==-==--∑∑$$, 其中,x y 为样本平均值. 求,x y 的线性回归方程;
某厂该型号的一台机床已经使用了 8 年, 现决定当维护费达到 15 万元时, 更换机床, 请估计到第 11 年结束, 是否需要更换机床?
18. (12 分)
已知数列{}n a 的前n 项和()()
()*
122n n n S n ++=∈N . (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;
(2) 求数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和n T . 19. (12 分)
已知在四边形ABCD 中, 7,13,AB BC CD AD ===, 且1cos ,27B BAD BCD ∠∠=
=. (1) 求BCA ∠;
(2) 求AD .
20. (12 分)
如图, 四棱锥B PACQ -中, BC ⊥平面PAB , 且四边形PACQ 中, ,2PQ AC PAC π∠=P , 二面角B AP Q --的大小为3
π, 且1AP AB PQ ===. 求证: 平面PACQ ⊥平面ABC ;
求直线BQ 于平面PACQ 所成角的正弦值;
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