北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期中质量检测
高三数学试卷2020.11
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分｡在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项｡
(1)已知集合2{|20},结婚祝福语短信>个人考核
{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A∩B= A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
(2)已知ππ3(0,),sin(),225
x x ∈-=则sin2x = A.1225
B.2425
C.1225-
D.2425- (3)已知132
,a -=21211log ,log ,33b c ==则 A.a >b >c
B.a >c >b
C.c >a >b
D.c >b >a (4)如图，在△ABC 中,D 是BC 的中点.若,,AB AD == a b 则AC =
A.3a -2b
B.a -2b
C.-a +2b
D.1122+a b (5)“lna>lnb”是“33a b >”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(6)
已知函数1()cos (0)22
f x x x ωωω=
->的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π，则f(x)的图象的一条对称轴是 A.12x π=- B.12x π= C.3x π=- D.3x π= (7)在△ABC 中,AB=4,AC=3，且||||,AB AC AB AC +=- 则BC CA ⋅=
A.-12
B.-9
窃读记的主要内容C.9
D.12
(8)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ∈(-∞,0]时,1()2,3x f x =+则23(log )2
f = 1()2A B.1 C.76 D.116
(9)已知函数22|1|,7,()ln ,.
x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是 A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,3]
(10)已知奇函数f(x)的定义域为(,),22ππ-且()f x '是f(x)的导函数.若对任意(,0),2x π
∈-都有()c o s ()s i n f x x f x x '+<；则满足()2cos ()3f f π
θθ<⋅的θ的取值范围是 A.(,)23ππ
-
B.(,)(,)2332ππππ--⋃
C.(,)33ππ-
D.(,)32
ππ 第二部分(非选择题共110分)
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分｡
(11)已知向量a =(3,1),b =(t,2)，若a //b ，则实数t=________.
(12)已知x>0,y>0,xy=1，则x+4y 的最小值为________，此时x 的值为________.
1,0211,0) 2(at t y a at
t ⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，如图所示，则a=_____;
实验表明，当房间中该药物含量不超过30.75mgm 时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.
(14)设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和.能说明“若d>0，则数列{}n S 为递增数列”是假命题的一组1a 和d 的值为________.
(15)公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一,
他因天文观测的需要编制了有关三
角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式21cos sin .22
α
α-=如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B 在以线段AC 为直径的圆O 上,D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE=AB，点F 为EC 的中点.设OA=,.r DOC α∠=给出下列四个结论:
2sin 2CD r α
=①②AB=2rsin α;③CF=r(1-cosα);222(1cos ).CD r α=-④
其中，正确结论的序号是________.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求｡全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三､解答题共6小题，共85分｡解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程｡
(16)(本小题13分)
已知函数()sin .f x x x =
(I)求()3f π
及f(x)的最小正周期;
(II)若3[
,],22x ππ∈求f(x)的值域.
(17)(本小题13分)
已知{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,121,a b ==再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.
(I)求数列{}n a 的通项公式;凉拌海带菜
(II)求数列{}n b 的前n 项和.
条件①:2410a a +=条件②:244b b =条件③:45.b a =
(18)(本小题14分)
在△ABC 中,AB=2,AC=3.
(I)若B=60°,
(i)求BC;
(ii)设D 是边BC 上一点，且∠ADC=120°，求sinC;
(II)若AE 是△ABC 的内角平分线，求AE 的取值范围.
(19)(本小题15分)
已知函数f(x)=x+alnx(a ∈R ).
(I)当a=-1时，求函数f(x)的极值;
(II)若不等式21
()2f x x ax ≤+对任意x>0恒成立，求a 的取值范围.
(20)(本小题15分) 已知函数cos ()(,a x
f x b a x =+b ∈R ).
(I)当a=1,b=0时，判断函数f(x)在区间(0,)2π
内的单调性;
(II)已知曲线cos ()a x
f x b x =+在点(,())22f π
π处的切线方程为6
2.
y x π=-+
(i)求f(x)的解析式;飞鸽传输
(ii)判断方程3
万能英语作文模板()2f x π=-1在区间(0,2π]上解的个数，并说明理由.
(21)(本小题15分)
已知数列{}n a 是无穷数列，其前n 项和为.n S 若对任意的正整数m≥2，存在正整数k ,l (1≤k≤l )使得,m k l S a a =+则称数列{}n a 是“S 数列".
(I)若2(1,2,),n a n n == 判断数列{}n a 是否是“S 数列”，并说明理由;
(II)设无穷数列{}n a 的前n 项和(1,2,),n n S q n == 且q>2，证明数列{}n a 不是“S 数列";
(III)证明：对任意的无穷等差数列{},n a 存在两个“S 数列"{}n b 和{},n c 使得(1,2)n n n a b c n =-= 成立.
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