广东省广州市2022届高三二模数学试题
一、单选题1．若复数i
1i
m z -=+是实数，则实数m =（ ）A ．1
-B ．0
C ．1
D ．2
A ．12x
y ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
B ．2
y x x
汉堡包英文=-C ．1y x =-D ．1y x x
=-
3．某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布()2
10,N ξσ:，根据检测结果
可知9.9810.02()0.98P ξ≤≤=，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为（ ）
A ．10
庐山温泉B ．20
C ．30
D ．40
4．已知数列{}n a 是等差数列，且258a a a π++=，则()19tan a a +=（ ）
A
B C ．D ．5．如果函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于点2,03π⎛⎫
味四字成语-
⎪⎝⎭对称，则||ϕ的最小值是（ ）A ．
6
πB ．
3
π
C ．
56
πD ．
43
π6．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）A ．甲胜乙
B ．乙胜丙
C ．乙平丁
D ．丙平丁
7．已知抛物线21:4C y x =，圆22
2(2):2C x y -+=，直线():1l y k x =-与1C 交于A 、B
两点，与2C 交于M 、N 两点，若8AB =，则MN =( )
A B C D 8．已知0a >且1a ≠，若集合{}{}22
,log ||a M x x x N x x x =<=<，且N M ⊆﹐则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．()1e 0,11,e ⎛⎤
⎥
⎝⎦ B ．()1e 0,1e ,⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
C ．()1
2e 0,11,e ⎛⎤ ⎥
⎝⎦ D ．()1
2e 0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
二、多选题
9．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A ，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B ，则下列结论中正确的是（ ）A ．事件A 与事件B 互为对立事件B ．事件A 与事件B 相互独立C ．()()2P B P A =D ．()()1
P A P B +=10．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，E 在底面圆周上， ,AE BE AF DE =⊥，F 是垂足，G 在BD 上， 2DG BG =，则下列结论中正确的是（ ）
A ．AF BD
⊥B ．直线DE 与直线AG 所成角的余弦值为1
2
C ．直线DE 与平面ABC
双子座的爱情D D ．若平面AFG ⋂平面AB
E l =，则l FG
∥11．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ）A ．1
8
ab ≤
B ．
218a b
+≤
C ≤
D ．3a b +≤12．我们常用的数是十进制数，如32101079110010710910⨯⨯+⨯⨯=++，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制
数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数()3210
2110112120212⨯⨯⨯++⨯=+，等于
十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为(),M m n ，其中m ，*,2n n ∈≥N ，(),M m n 为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
风水招财A ．()5,231M =
B ．()()4,22,4M M =
C ．()()2,11,2M n n M n n ++<++
D ．()()2,11,2M n n M n n ++>++三、填空题
13．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+ ，且b c ⊥ ，则()
a a
b ⋅+= __________．
14．写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________．
①中心在原点，焦点在y 轴上；②一条渐近线方程为2y x =﹔③焦距大于1015．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________．四、双空题
16．在梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD CD CB ====∥，将ACD △沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．五、解答题
17．问题：已知*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在数列{}n a ，满足
111,1n n S a a +=≥+，__________﹖若存在．求通项公式n a ﹔若不存在，说明理由．
在①1n a +=﹔②()12n n a S n n -=+≥；③121n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数
7
11
41
1
(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X ，求()1P X =；
(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y ，求Y 的数学期望．
19．在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==(1)求ACD △的面积；(2)若9cos 16
ACB ∠=
，
求3
4AB BC +的值；
20．如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60,,2ABC EF AC AC EF ∠=︒=∥，平面AEFC ⊥平面,ABCD AE AB =．
(1)求证：平面BED ⊥平面AEFC ；
(2)若AE AC ⊥，求二面角A CF D --的余弦值．
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为4；
(1)求C 的方程；
(2)过点()3,0P -作两条相互垂直的直线上1l 和2l ，直线1l 与C 相交于两个不同点A ，B ，在线段AB 上取点Q ，满足AQ AP
QB PB
=，直线2l 交y 轴于点R ，求PQR V 面积的最小值．
22．已知函数2()2ln 1f x x x x mx =--+．(1)若0m =，求()f x 的单调区间；(2)若0,0m b a <<<，证明：22
逝者安息生者坚强42ln
a b ab
m a b a b +<---．
答案第1页，共20页
参考答案：
1．A 【解析】【分析】
利用复数的除法运算求出复数z ，再由已知列式计算作答.【详解】依题意，(i)(1i)1(1)i 11
i (1i)(1i)222
m m m m m z ----+-+=
==-+-，因R m ∈，且z 是实数，则
1
=02
m +，解得1m =-，所以实数1m =-.故选：A 2．C 【解析】【分析】
根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】
对A ：容易知12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是偶函数，且在()0,+∞单调递减，故错误；
对B ：容易知2
y x x =-是偶函数，当0x >时，2y x x =-，
其在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭单调递减，故错误；
对C ：容易知1y x =-是偶函数，当0x >时，1y x =-是单调增函数，故正确；对D ：容易知1
y x x
=-是奇函数，故错误；
故选：C.3．B 【解析】【分析】
根据大米质量()2
10,N ξσ:，利用正态分布的对称性求出102().0P ξ>，再列式计算作答.
【详解】
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