2023北京海淀高三二模
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答
无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的
一项。
1.已知集合A ={x ∣-1<x <2},B ={0,1},则()
A .A ⊊B
B .B ⊋A
C .A =B
D .A ∩B =∅
2.在平面直角坐标系xOy 中,角α以Ox 为始边,其终边经过点P (1,2),则sin α=(
)
A .255
B .55
C .2
D .
1
23.若(2-x )n n ∈N *
的展开式中常数项为32,则n =(
)
A .5
B .6
C .7
D .8
4.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()
A .y =lg x
B .y =
2
x
C .y =2
|x |
D .y =tan x
5.已知等差数列a n  的前n 项和为S n ,a 1=3,a 1-a 2=a 3,则S n 的最大值为()
A .7
B .6
C .5
D .4
6.已知抛物线C :y 2
=4x ,经过点P 的任意一条直线与C 均有公共点,则点P 的坐标可以为(
)
be动词A .(0,1)
B .(1,-3)
C .(3,4)
D .(2,-2)
7.芯片是科技产品中的重要元件,其形状通常为正方形.生产芯片的原材料中可能会存在坏点,而芯片中出现坏点即报废,通过技术革新可以减小单个芯片的面积,这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片,同时可以提高芯片生产的产品良率.
产品良率=
切割得到的无坏点的芯片数
切割得到的所有芯片数
×100%
在芯片迭代升级过程中,每一代芯片的面积为上一代的
1
2
.图1是一块形状为正方形的芯片原材料,上面有4个坏点,若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形,得到4块第3代芯片,其中只有一块无坏点,则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%.若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形,得到16块第5代芯片,则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为(
)
A .50%
温声细语
B .62.5%
C .75%
D .87.5%
8.已知正方形ABCD 所在平面与正方形CDEF 所在平面互相垂直,且CD =2,P 是对角线CE 的中点,Q 是对角线BD 上一个动点,则P ,Q 两点之间距离的最小值为(
)
A .1
B .2
C .6
2
D .6
9.已知a  ,b  是平面内两个非零向量,那么“a  ∥b  ”是“存在λ≠0,使得|a  +λb  |=|a
|+|λb  |”的(
)
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
10.已知动直线l 与圆O :x 2
+y 2
=4交于A ,B 两点,且∠AOB =120°.若l 与圆(x -2)2
+y 2
=25相交所得的弦长为t ,则t 的最大值与最小值之差为()A .10-46
B .1
C .46-8
D .2
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.在复平面内,复数z 所对应的点为(1,1),则z ⋅z
=___________.
12.已知双曲线C 经过点(2,0),渐近线方程为y =±
2
2
x ,则C 的标准方程为___________.
13.如图,在△ABC 中,D 是边BC 上一点,AD =BD =4,CD =2,
AC =32,则cos ∠ADC =_____;△ABD 的面积为______.
14.设函数f (x )=sin ωx ,g (x )=mx 3
①若ω=
π
2,m =1,则不等式f (x )>g (x )的解集为________;②若ω=π
4
,且不等式f (x )>g (x )的解集中恰有一个正整数,
则m 的取值范围是___________.
15.在数列x n  中,x 1=1,x 2=2.设向量a  n =x n ,x n +1  ,已知a  n ⋅a n +1-a
n  =0(n =1,2,⋯),给出下列四个结论:
①x 3=3;②∀n ∈N *兜兰
,x n >0;
③∀n ∈N *
,x n +1≠x n ;④∀n ∈N *
,
x n +2>x n .其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.(本小题13分)
已知函数f (x )=a sin x cos x +cos 2x +π6
,且f π4  =1
2.(I )求a 的值和f (x )的最小正周期;(Ⅱ)求f (x )在[0,π]上的单调递增区间.
17.(本小题14分)
某大学A 学院共有学生1000人,其中男生640人,女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,按性别分层抽样,从该学院所有学生中抽取若干人作为样本,对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计,得到表一.跑步里程s (km )
0≤s <30
30≤s <60
60≤s <90
s ≥90
男生a 12105女生
6
64
2
表一
(I )求a 的值,并估计A 学院学生5月份累计跑步里程s (km )在[0,30)中的男生人数;
(Ⅱ)从A 学院样本中5月份累计跑步里程不少于90(km )的学生中随机抽取3人,其中男生人数记为X ,求X 的分布列及数学期望;
(Ⅲ)该大学B 学院男生与女生人数之比为λ,B 学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况,也按性别进行分层抽样.已知A 学院和B 学院的样本数据整理如表二.
5月份累计跑步里程平均值(单位:km )
学院
性别
A B 男生5059女生
4045
陈礼雪表二
设A 学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x
A ,
B 学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x  B ,是否存在λ,使得x  A ≥x
B ?如果存在,求λ的最大值;如果不存在,说明理由.
18.(本小题13分)
如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,E ,F 分别为AB ,PD 的中点.(I )求证:EF ∥平面PBC ;
(Ⅱ)若AD =23,二面角E -FC -D 的大小为45°,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.求PD 的长.
条件①:DE ⊥PC ;条件②:PB =PC .
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
19.(本小题15分)
已知椭圆E :x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的左顶点为A ,上、下顶点分别为B 1,B 2,直线AB 1的方程为
x -3y +3=0.
(I )求椭圆E 的方程及离心率;
(Ⅱ)P 是椭圆上一点,且在第一象限内,M 是点P 关于x 轴的对称点.过P 作垂直于y 轴的直线交直线AB 1于点Q ,再过Q 作垂直于x 轴的直线交直线PB 2于点N .求∠MNQ 的大小.
20.(本小题15分)已知函数f (x )=
x ln x
(I )求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(Ⅱ)求证:f (x )<x ;
(Ⅲ)若函数g (x )=f (x )+a x 2
-x  在区间(1,+∞)上无零点,求a 的取值范围.
21.(本小题15分)
设λ为整数.有穷数列a n  的各项均为正整数,其项数为m (m ≥2).若a n  满足如下两个性质,则称a n  为P λ数列:
①a m =1,且a i ≠1(i =1,2,⋯,m -1);②a n +1=
λa n +1  ,a n 为奇数,
a
n6174
2,a n
为偶数
(n =1,2,⋯,m -1)
(I )若a n  为P 1数列,且a 1=5,求m ;(Ⅱ)若a n  为P -1数列,求a 1的所有可能值;
(Ⅲ)若对任意的P 1数列a n  ,均有m ≤2log 2a 1+d ,求d 的最小值.
参考答案
一、选择题
题目12345678910答案
B
A
A
D
B
D
C
C
C
D
二、填空题
(11)2
(12)x 2
4-y 22=1(13)18
;37
(14)(-∞,-1)∪(0,1);18,2
2
(15)②③④
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(16)(本小题13分)
解:(Ⅰ)由f π4  =a sin π4cos π4+cos 2×π4+π
6
=a 22×22-sin π6=
12
得a =2.
所以,f (x )=2sin x cos x +cos 2x +π
6
=sin2x +cos2x cos π6-sin2x sin
π
6
=12sin2x +32cos2x =sin 2x +π3
所以,f (x )的最小正周期T =2π
2
=π.
(Ⅱ)由2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2得k π-5π12≤x ≤k π+π
12
(k ∈Z ),
所以f (x )=sin 2x +π3  的单调递增区间为k π-5π12,k π+π12
(k ∈Z ).当k =0时,f (x )的单调递增区间为-5π12,π12
当k =1时,f (x )的单调递增区间为7π12,13π12
小学生日常行为规范
所以f (x )在[0,π]上的单调递增区间为0,π12      ,7π12,π
.(17)(本小题14分)
解:(Ⅰ)由题意知,男女比例为16:9,则a +12+10+518=16
9
,故a =5.
估计A 学院学生5月跑步里程在[0,30)中的男生人数为1000×5
50
=100人.
(Ⅱ)X 的取值范围是{1,2,3}.
P (X =1)=C 15C 22C 37
=535=1
7,P (X =2)=C 25C 1
2C 37
=2035=4
7,P (X =3)=C 35C 37
=1035=2
7.
因此X 的分布列为
x 123P
1
7
47
27
E (X )=1×
17+2×47+3×27=157
.(Ⅲ)存在满足条件的λ,且λ的最大值为
1
9
.