2023北京海淀高三二模
数
学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答
无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
1．已知集合A ={x ∣-1<x <2},B ={0,1}，则()
A ．A ⊊B
B ．B ⊋A
C ．A =B
D ．A ∩B =∅
2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1,2)，则sin α=(
)
A ．255
B ．55
C ．2
D ．
1
23．若(2-x )n n ∈N *
的展开式中常数项为32，则n =(
)
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()
A ．y =lg x
B ．y =
2
x
C ．y =2
|x |
D ．y =tan x
5．已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=3,a 1-a 2=a 3，则S n 的最大值为()
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
6．已知抛物线C :y 2
=4x ，经过点P 的任意一条直线与C 均有公共点，则点P 的坐标可以为(
)
be动词A ．(0,1)
B ．(1,-3)
C ．(3,4)
D ．(2,-2)
7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．
产品良率=
切割得到的无坏点的芯片数
切割得到的所有芯片数
×100%
在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的
1
2
．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为(
)
A ．50%
温声细语B ．62．5%
C ．75%
D ．87．5%
8．已知正方形ABCD 所在平面与正方形CDEF 所在平面互相垂直，且CD =2，P 是对角线CE 的中点，Q 是对角线BD 上一个动点，则P ，Q 两点之间距离的最小值为(
)
A ．1
B ．2
C ．6
2
D ．6
9．已知a ，b 是平面内两个非零向量，那么“a ∥b ”是“存在λ≠0，使得|a +λb |=|a
|+|λb |”的(
)
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知动直线l 与圆O :x 2
+y 2
=4交于A ，B 两点，且∠AOB =120°．若l 与圆(x -2)2
+y 2
=25相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为()A ．10-46
B ．1
C ．46-8
D ．2
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z ⋅z
=___________．
12．已知双曲线C 经过点(2,0)，渐近线方程为y =±
2
2
x ，则C 的标准方程为___________．
13．如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AD =BD =4,CD =2,
AC =32，则cos ∠ADC =_____；△ABD 的面积为______．
14．设函数f (x )=sin ωx ,g (x )=mx 3
．
①若ω=
π
2,m =1，则不等式f (x )>g (x )的解集为________；②若ω=π
4
，且不等式f (x )>g (x )的解集中恰有一个正整数，
则m 的取值范围是___________．
15．在数列x n 中，x 1=1,x 2=2．设向量a n =x n ,x n +1 ，已知a n ⋅a n +1-a
n =0(n =1,2,⋯)，给出下列四个结论：
①x 3=3；②∀n ∈N *兜兰
,x n >0；
③∀n ∈N *
,x n +1≠x n ；④∀n ∈N *
,
x n +2>x n ．其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．(本小题13分)
已知函数f (x )=a sin x cos x +cos 2x +π6
，且f π4 =1
2．(I )求a 的值和f (x )的最小正周期；(Ⅱ)求f (x )在[0,π]上的单调递增区间．
17．(本小题14分)
某大学A 学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到表一．跑步里程s (km )
0≤s <30
30≤s <60
60≤s <90
s ≥90
男生a 12105女生
6
64
2
表一
(I )求a 的值，并估计A 学院学生5月份累计跑步里程s (km )在[0,30)中的男生人数；
(Ⅱ)从A 学院样本中5月份累计跑步里程不少于90(km )的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为X ，求X 的分布列及数学期望；
(Ⅲ)该大学B 学院男生与女生人数之比为λ，B 学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样．已知A 学院和B 学院的样本数据整理如表二．
5月份累计跑步里程平均值(单位：km )
学院
性别
A B 男生5059女生
4045
陈礼雪表二
设A 学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x
A ，
B 学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为x B ，是否存在λ，使得x A ≥x
B ?如果存在，求λ的最大值；如果不存在，说明理由．
18．(本小题13分)
如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．(I )求证：EF ∥平面PBC ；
(Ⅱ)若AD =23，二面角E -FC -D 的大小为45°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD 的长．
条件①：DE ⊥PC ；条件②：PB =PC ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．(本小题15分)
已知椭圆E :x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的左顶点为A ，上、下顶点分别为B 1,B 2，直线AB 1的方程为
x -3y +3=0.
(I )求椭圆E 的方程及离心率；
(Ⅱ)P 是椭圆上一点，且在第一象限内，M 是点P 关于x 轴的对称点．过P 作垂直于y 轴的直线交直线AB 1于点Q ，再过Q 作垂直于x 轴的直线交直线PB 2于点N ．求∠MNQ 的大小．
20．(本小题15分)已知函数f (x )=
x ln x
(I )求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：f (x )<x ；
(Ⅲ)若函数g (x )=f (x )+a x 2
-x 在区间(1,+∞)上无零点，求a 的取值范围．
21．(本小题15分)
设λ为整数．有穷数列a n 的各项均为正整数，其项数为m (m ≥2)．若a n 满足如下两个性质，则称a n 为P λ数列：
①a m =1，且a i ≠1(i =1,2,⋯,m -1)；②a n +1=
λa n +1 ,a n 为奇数,
a
n6174
2,a n
为偶数
(n =1,2,⋯,m -1)
(I )若a n 为P 1数列，且a 1=5，求m ；(Ⅱ)若a n 为P -1数列，求a 1的所有可能值；
(Ⅲ)若对任意的P 1数列a n ，均有m ≤2log 2a 1+d ，求d 的最小值．
参考答案
一、选择题
题目12345678910答案
B
A
A
D
B
D
C
C
C
D
二、填空题
(11)2
(12)x 2
4-y 22=1(13)18
；37
(14)(-∞,-1)∪(0,1)；18,2
2
(15)②③④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(16)(本小题13分)
解：(Ⅰ)由f π4 =a sin π4cos π4+cos 2×π4+π
6
=a 22×22-sin π6=
12
得a =2.
所以，f (x )=2sin x cos x +cos 2x +π
6
=sin2x +cos2x cos π6-sin2x sin
π
6
=12sin2x +32cos2x =sin 2x +π3
所以，f (x )的最小正周期T =2π
2
=π.
(Ⅱ)由2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2得k π-5π12≤x ≤k π+π
12
(k ∈Z )，
所以f (x )=sin 2x +π3 的单调递增区间为k π-5π12,k π+π12
(k ∈Z ).当k =0时，f (x )的单调递增区间为-5π12,π12
，
当k =1时，f (x )的单调递增区间为7π12,13π12
小学生日常行为规范，
所以f (x )在[0,π]上的单调递增区间为0,π12 ，7π12,π
.(17)(本小题14分)
解：(Ⅰ)由题意知，男女比例为16:9，则a +12+10+518=16
9
，故a =5.
估计A 学院学生5月跑步里程在[0,30)中的男生人数为1000×5
50
=100人.
(Ⅱ)X 的取值范围是{1,2,3}．
P (X =1)=C 15C 22C 37
=535=1
7，P (X =2)=C 25C 1
2C 37
=2035=4
7，P (X =3)=C 35C 37
=1035=2
7.
因此X 的分布列为
x 123P
1
7
47
27
E (X )=1×
17+2×47+3×27=157
.(Ⅲ)存在满足条件的λ，且λ的最大值为
1
9
.
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