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在曲折中成长，在成长中升华
在曲折中成长，在成长中升华回顾探源延伸发展 ---对2010 年全国高考数学试题(理)第 21 题的思考江苏省海门中学顾旭东邮编 226100 一年一度的高考已经落下帷幕，带给我们一线教师的思考有很多，甚至可以说回味无穷，而展望近几年的高考试题，又无不渗透了命题专家的智慧，让我们在欣赏题目的同时又回到了过去。
让我们回到 9 年前（以下为 2019 年全国高考试卷（理）第 19 题）。
（理）第 19 题：
设抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且BC∥x 轴, 证明：直线 AC 经过原点 o. 证明：
因为抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F(p 2 p 2,0), ；所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x 代入抛物线方程得 y2 2pmy p2 my 0.，若记 A(x1,y1),B(x2,y2)则 y1,y2 是该方程的两个根，所以 y1y2 p.， 2 p 2 因为BC∥x 轴，且点 C 在准线 x 故直线 CO 的斜率为 k y2 p 2 上，所以点 C 的坐标为( y1x1, p2,y2)， 2py1 即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 o。
【点评】：
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本题着重考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。
该题的出现让不少的老师为之兴奋，从而不同的方法如代数证明法、待定系数法、数形结合法、参数法、向量法等等应运而生。
简历解析但是对题目本身的蕴含部分以及图形的内在结构就研究的较少。
（证明略）（如右图虚线所示）让我们马上回到现在看看2010 年全国高考数学试题(理)第 21 题。
(理)第 21 题：
已知抛物线 C C:y 4x2 的焦点为 F，过点 K( 1,0)的直线 l 与相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D .（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；（Ⅱ）略解：
设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,D x1, y1 ,l 的方程为 x 将y2 my 1 m 0 x my 1 代入 y2 4x 并整理得：
4my 4 0 从而 y1 y2 4m,y1 y2 4 y2 y1 x2 x1 又因为直线 BD 的方程为：
y 又 x2 x1 my y2 x x2 2 1 my1 1 m y2 y1 4 所以y y22 y2 x y2 y1 4 令 y 0，得 x y1y2 4 1 ，点 F 1,0 在直线 BD 上【点评】：
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想。
以上两题背景材料简单，是直线与抛物线的综合，是教材习题的逆命题，其实质是从一个三点共线的条件出发来证明另一个三点共线，这既体现了考查学生对基础知识和基本方法的掌握情况，又不乏新意，所涉及的焦点弦、交点等概念充分体现了解析几何的特。
从(理)第 21 题中我们不难发现抛物线可以推广到一般形式，由此可得推论 1。
推论 1：
有关谐音的笑话
已知抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F，准线与抛物线对称轴的交点为 K，过 K作直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作对称轴的垂线交抛物线于 D、C，则焦点 F 必为四边形 ABCD 对角线的交点。
但是在我们对推论 1 进行研究的同时，又惊讶地发现当 A、B 两点拟合成一点，即交线变为切线时，又自然的产生了推论 2、推论3。
什么是希望推论 2：
已知抛物线 y2 2px(p 0) 的焦点为 F，准线与抛物线对称轴的交点为 p2 K，过 K 作直线 l 与抛物线相切，则切点的
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横坐标必为推论 3：送梳子
已知抛物线 y2 2px(p 0) 。
，则在点 ,0 2 p p ,p 2 （通径与抛物线的交点）处的切线斜率恒为 1，且恒过定点（准线与抛物线对称轴的交点）。
观音菩萨坐骑进一步探索又发现在椭圆、双曲线当中同样隐藏类似的情况。
推论 4：
已知椭圆 xa 22 yb 22 b2 1 a b 0 ，则在点c,a （通径与椭圆的交点）a2 ,0 处的切线恒过定点 c （准线与椭圆对称轴的交点）。
y 22 推论 5：
已知双曲线 xa 22 b b2 1 a 0,b 0，则在点c,a （通径与双曲线的a2 ,0 交点）处的切线恒过定点 c （准线与双曲线对称轴的交点）。
由推 3 推 4 推 5 我们可引出更一般的结论：
南峰在圆锥曲线与通径的交点处的切线恒过一定点，该定点恰为其准线与圆锥曲线对称轴的交点。
数学的学习是有方法的，也是应该讲究方法的。
希望通过本文中几个推论，能让学生主动体验知识的变迁、系统化等建构过程，体验新老题目之间的同化和顺应过程，以此体会数学
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--------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 学习的方法。
我想这样对数学的探索也应该是充满乐趣的。
作者：
顾旭东发表时间：
2010 年第 17 期刊物名称：
《数学学习与研究》高三确实很紧额，一点都没有时间抽出来，写点东西的时间都没有，语文课做做数学作业，数学课做做数学作业，下课做，回家还是做，总之，老师说的，用尽一切可以利用的时间做数学。
考试是一次接一次，没有金属探测仪，也没有两个监考老师，你想作弊不是只能拿手机的，小抄什么都可以，只要你本事好。
看着高一高二的小朋友们期中考试都还要探测一下，有必要么？有，当然有！起码能掐掉一个作弊方式，接下来的就要看监考老师的眼力怎么样了。
开学伊始，计时器上还是二百几十天的，眼看现已是 12 月份，高老不就是六月份的么，这么说就只有六个月了，我不想说是半年，因爲用年来计时未免过于漫长，毕竟高考的日子用秒都不过分，不过我没算过。
上个礼拜学校里甚为吵闹，江苏省首届阳光体育节在我们学校，那个排场，真是，男生都跑过看体操队了，寒风吹彻的日子，短裙，长筒袜，够性感的，更够冷的。
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