绪论：加法原理、乘法原理
分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题
排列数
从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式
Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n
（规定0!=1）
推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：
取第一个：有n种取法；
取第二个：有(n−1)种取法；
取第三个：有(n−2)种取法；
……
取第m个：有(n−m+1)种取法；
根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质
原来我没懂Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题
组合数
从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式
Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n
C0n=Cnn=1
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：
第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；
第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
根据乘法原理，Amn=CmnAmm，那么
Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!
组合数的性质
Cmn=Cn−mn 可以理解为：将原本的每个组合都反转，把原来没选的选上，原来选了的去掉，这样就变成从n个元素种取出n−m个元素，显然方案数是相等的。
递推公式Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1 可理解为：含特定元素的组合有Cm−1n−1，不含特定元素的排列为Cmn−1。还不懂？看下面。
Example
从1，2，3，4，5（n=5）中取出2（m=2）个元素的组合（Cmn）：
12 13 14 15 23 24 25 34 35 45
显然，这些组合中要么含有元素“1”，要么不含。
∙其中含有“1”的是：12 13 14 15
把里面的“1”都挖掉：2 3 4 5
而上面这个等价于从2，3，4，5（n−1）中取出1（m−1）个元素的组合。
∙其中不含“1”的是：23 24 25 34 35 45
∙上面等价于从2，3，4，5（n−1）中取出2（m）个元素的组合。
而总方案数等于上面两种情况方案数之和，即Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1。
组合数求和公式
C0n+C1n+C2n+⋯+Cnn=2n
我们感性认知一下，上面这个式子的左边表示什么呢？
把从n个球中抽出0个球的组合数（值为1）、抽出1个球的组合数、抽出2个球的组合数、……、抽出n个球的组合数相加。
换句话说，就是从n个球中随便抽出一些不定个数球，问一共有多少种组合。
对于第1个球，可以选，也可以不选，有2种情况。
对于第2个球，可以选，也可以不选，有2种情况。
对于任意一个球，可以选，也可以不选，有2种情况。
根据乘法原理，一共2×2×⋯×2⏟n个2相乘=2n种组合。
想要严谨的证明？数学归纳法：
1.当m=1时，C01+C11=2=21成立。
2.假设n=k(k∈N∗)时等式成立，即
3.k∑i=0Cik=2n
4.成立，当n=k+1时，
5.C0k+1+C1k+1+C2k+1+⋯+Ckk+1+Ck+1k+1=C0k+1+(C0k+C1k)+(C1k+C2k)+⋯+(Ck−1k+Ckk)+Ck+1k+1=(C0k+C1k+C2k+⋯+Ckk)+(C0k+C1k+C2k+⋯+Ckk)=2×2k=2k+1
6.等式也成立。
7.由1、2得，等式对n∈N∗都成立。
也可偷懒地用二项式定理证明（其实二项式定理也是用数学归纳法证明的）：
(a+b)n=n∑k=0Cknan−kbk
令a=b=1，就得到了
n∑i=0Cin=2n
类似的公式（由Cmn=Cn−mn推导）：
C0n+C2n+C4n+⋯=C1n+C3n+C5n+⋯=2n−1
杨辉三角
这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。
杨辉三角可以帮助你更好地理解和记忆组合数的性质：
1.第n行的m个数可表示为 Cm−1n−1，即为从n−1个不同元素中取m−1个元素的组合数。
2.第n行的数字有n项。
3.每行数字左右对称（第n行的第m个数和第n−m+1个数相等，Cmn=Cn−mn），由1开始逐渐变大。
4.每个数等于它上方两数之和（第n+1行的第i个数等于第n行的第i−1个数和第i个数之和，即Cin+1=Cin+Ci−1n）。
5.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第n+1行中的每一项（二项式定理）。
以下来自（我只是随便贴这）
二项式系数
二项式系数可排列成帕斯卡三角形。
在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言，二项式系数由两个非负整数n和k为参数决定，写作，定义为的多项式展开式中，项的系数，因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行，再依照顺序由上往下排列，则构成帕斯卡三角形。 \tbinom nk {\displaystyle (1+x)^{n}}x^{k}{\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}}{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，可以被理解为从n个相异元素中取出k个元素的方法数，所以大多读作「n取k」。二项式系数的定义可以推广至n是复数的情况，而且仍然被称为二项式系数。
二项式系数亦有不同的符号表达方式，包括：C(n,k)、_nC_k、^nC_k、、[注3]，其中的C代表组合（combinations）或选择（choices）。很多计算机使用含有C的变种记号，使得算式只占一行的空间，相同理由也发生在置换数，例如写作P( n , k )。 {\displaystyle C_{n}^{k}}{\displaystyle C_{k}^{n}}{\displaystyle P_{k}^{n}}
定义及概念
对于非负整数n和k，二项式系数定义为的多项式展开式中，项的系数，即 \tbinom nk{\displaystyle (1+x)^{n}}x^{k}
{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0} }+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}}
事实上，若x、y为交换环上的元素，则
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{nk}y^k
此数的另一出处在组合数学，表达了从n物中，不计较次序取k物有多少方式，亦即从一n元素集合中所能组成k元素子集的数量。
计算二项式系数
除展开二项式或点算组合数量之外，尚有多种方式计算的值。 \tbinom nk
递归公式
以下递归公式可计算二项式系数：
\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k \quad \forall n,k\in\N
其中特别指定：
\binom n0 = 1 \quad \forall n\in\N\cup\{0\}, \binom 0k = 0 \quad \forall k\in\N.
此公式可由计算(1 + X ) n −1 (1 + X )中的X k项，或点算集合{1, 2, ..., n }的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。
显然，如果k > n，则。而且对所有n，，故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。 \tbinom nk=0\tbinom nn=1
帕斯卡三角形(杨辉三角)
有关二项式系数的恒等式
关系式
阶乘公式能联系相邻的二项式系数，例如在k是正整数时，对任意n有：
{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}} \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} \binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.
两个组合数相乘可作变换：
\binom ni \binom im=\binom nm \binom {nm}{im} \sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n}
{\displaystyle \sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}}
{\displaystyle \sum _{r=0}^{nk}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {nk}{r} }={\binom {n}{k}}^{-1}}
\sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi ri}{ d}})^{dn}
\sum_{i=m}^n \binom {a+i}{i} = \binom {a+n+1}{n} - \binom {a+m}{m-1}
\binom {a+m}{m-1} + \binom {a+m}{m} + \binom {a+m+1}{m+1} + ... + \binom {a+n} {n} = \binom {a+n+1}{n}
发布评论